Ringhomomorphismus Ideal

30.05.2023, 19:56	limf(x)	Auf diesen Beitrag antworten »
Ringhomomorphismus Ideal Es sei $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ ein Ring und $\begin{eqnarray} \mathfrak{a} \subseteq R \end{eqnarray}$ ein Ideal. Zeigen Sie: (a) Sei $\begin{eqnarray} \psi: R^{\prime} \rightarrow R \end{eqnarray}$ ein Ringhomomorphismus, dann ist $\begin{eqnarray} \psi^{-1}(\mathfrak{a}) \end{eqnarray}$ ein Ideal. (b) Wir betrachten den Ringhomomorphismus $\begin{eqnarray} \pi: R \rightarrow R / \mathfrak{a} \end{eqnarray}$ . Für jedes Ideal $\begin{eqnarray} \mathfrak{b} \subseteq R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \mathfrak{a} \subseteq \mathfrak{b} \end{eqnarray}$ ist das Bild $\begin{eqnarray} \pi(\mathfrak{b}) \end{eqnarray}$ unter dem kanonischen Ringhomomorphism $\begin{eqnarray} \pi: R \rightarrow R / \mathfrak{a} \end{eqnarray}$ wieder ein Ideal.
31.05.2023, 06:06	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, was hast du denn bisher versucht? Was ist in a) laut Definition zu prüfen, woran hakt es dabei? Übrigens sind die korrekten Latex-Tags nicht \( und \), sondern [ L ] und [/ L ], nur ohne die Leerzeichen darin. Ich habe das in deinem Startbeitrag angepasst.
31.05.2023, 09:42	limf(x)	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für Latex Korrektur. die a) habe ich mittlerweile. Mir fehlt die b)
31.05.2023, 10:08	limf(x)	Auf diesen Beitrag antworten »
Überlegung 1. $\begin{eqnarray} 0 \in \pi(\mathfrak{b}) \end{eqnarray}$ gilt, da $\begin{eqnarray} \mathfrak{b} \end{eqnarray}$ die Null enthält. 2. Für $\begin{eqnarray} x, y \in \pi(\mathfrak{b}) \end{eqnarray}$ existieren $\begin{eqnarray} a, b \in \mathfrak{b} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x=\pi(a) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y=\pi(b) \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} \mathfrak{b} \end{eqnarray}$ ein Ideal ist, folgt $\begin{eqnarray} a+b \in \mathfrak{b} \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} x+y=\pi(a)+\pi(b)=\pi(a+b) \in \pi(\mathfrak{b}) \end{eqnarray}$ . 3. Für $\begin{eqnarray} r \in R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x \in \pi(\mathfrak{b}) \end{eqnarray}$ gibt es $\begin{eqnarray} a \in \mathfrak{b} \end{eqnarray}$ mit \ $\begin{eqnarray} x=\pi(a) \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} \mathfrak{b} \end{eqnarray}$ ein Ideal ist, gilt $\begin{eqnarray} r a \in \mathfrak{b} \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} r \cdot x=r \cdot \pi(a)=\pi(r a) \in \pi(\mathfrak{b}) \end{eqnarray}$ .
31.05.2023, 12:34	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sieht schon ganz gut aus, aber die dritte Überlegung passt noch nicht ganz. Du musst zeigen, dass zu $\begin{eqnarray} r\in R/\mathfrak a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x\in \pi(\mathfrak b) \end{eqnarray}$ das Produkt in $\begin{eqnarray} \pi(\mathfrak b) \end{eqnarray}$ liegt, nicht für $\begin{eqnarray} r\in R \end{eqnarray}$ . Außerdem fehlt dir denke ich noch die Abgeschlossenheit bezüglich Inverser.

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