Komplexe Fourierreihe zu 4sin(0,5x+1)cos(0,5x+1)

31.05.2023, 22:21	NewMathematiker95	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Fourierreihe zu 4sin(0,5x+1)cos(0,5x+1) Guten Abend, habe folgende Aufgaben gegeben: Sei $\begin{eqnarray} f(x)=4\sin{(0.5x+1)}\cos{(0.5x+1)} \end{eqnarray}$ . a) Berechne durch Integration die komplexe Fourierreihe von f. b) Stellt die Fourierreihe von f eine periodische Funktion dar? c) Sei $\begin{eqnarray} g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray}$ eine stkw. stetige Funktion, welche gerade ist es gilt also $\begin{eqnarray} g(x)=g(-x) \end{eqnarray}$ . Wie verhält sich die Fourierreihe von g im Punkt x=0 und wieso? a) Habe erstmal umgeschrieben mithilfe der komplexen Identitäten für sinus uns cosinus f(x) umgeschrieben zu: $\begin{eqnarray} 4\frac{e^{i(0.5x+1)}-e^{-i(0.5x+1)}}{2i}\frac{e^{i(0.5x+1)}+e^{-i(0.5x+1)}}{2}=\frac{e^{2i(0,5x+1)}-e^{-2i(0,5x+1)}}{i}=\frac{e^{i(x+2)}-e^{-i(x+2)}}{i} \end{eqnarray}$ und wenn ich jetzt davon die Fourierreihe mit der Formel ausrechne (Periode $\begin{eqnarray} 2\pi \end{eqnarray}$ und Kreisfrequenz $\begin{eqnarray} \omega=1 \end{eqnarray}$ )ausrechne komme ich ja selbstverständlich auf das gleiche Ergebnis. b) Ja die Fourriierreihe von f(x) ist periodisch nämlich $\begin{eqnarray} 2\pi \end{eqnarray}$ -periodisch. c) Im Punkt $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ wenn ich das in die Fourierreihen Formel einsetze , integriere ich ja nur : $\begin{eqnarray} \int_{0}^{T} \! \frac{1}{T}g(0)e^{-ik0\omega} \, dx = \int_{0}^{T} \! \frac{1}{T}g(0) \, dx \end{eqnarray}$ . Weiter stehe ich grad aufm Schlauch. Vielen Dank schonmal
01.06.2023, 22:05	NewMathematiker95	Auf diesen Beitrag antworten »
Keiner der zustimmt oder nicht zustimmt? Und für c) vielleicht noch Tipps parat hat?
02.06.2023, 08:44	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei a) hätte man alternativ auch mit Additions- bzw. Doppelwinkeltheorem $\begin{eqnarray} \sin(2t)=2\sin(t)\cos(t) \end{eqnarray}$ gleich zu $\begin{eqnarray} f(x)=2\sin(x+2) \end{eqnarray}$ umformen können, kürzt die Sache ein wenig ab, aber dein Ergebnis ist ja auch so Ok. Frage b) verstehe ich nicht: Die Fourierreihe einer auf dem Intervall $\begin{eqnarray} [-T/2,T/2] \end{eqnarray}$ definierten Funktion ergibt immer eine $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ -periodische Funktion. Sinnvoll wäre allenfalls die Frage, ob diese Fourierreihe mit der Ausgangsfunktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ übereinstimmt, was im Falle $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ -periodischer stetiger Funktionen ja tatsächlich der Fall ist. Bei c) ist mir sowohl Frage als auch deine Rechnung suspekt: Wenn du von der Fourierreihe für eine auf ganz $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ definierte (nicht notwendig als periodisch vorausgesetzte) Funktion $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ sprichst, dann meinst du vielleicht eher die Fouriertransformation (also das stetige Analogon der Fourierreihe) dieser Funktion? D.h. $\begin{eqnarray} \mathcal{F}(g)(\omega) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} g(t) e^{-i\omega t} ~ \dd t \end{eqnarray}$ Die Geradheit äußert sich dann nur darin, dass man das zu $\begin{eqnarray} \mathcal{F}(g)(\omega) = 2\int\limits_0^{\infty} g(t) \cos(\omega t) ~ \dd t \end{eqnarray}$ umschreiben kann, es ist dann $\begin{eqnarray} \mathcal{F}(g)(0) = 2\int\limits_0^{\infty} g(t) ~ \dd t \end{eqnarray}$ .
02.06.2023, 08:49	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin kein Fourier-Experte, würde aber zu a) Folgendes sagen. Mit der Sinusformel für das doppelte Argument folgt sofort: $\begin{align} f(x) = 4 \sin \left( \frac{1}{2}x+1 \right) \cos \left( \frac{1}{2}x+1 \right) = 2 \sin(x+2) \end{align}$ Das hast du mit deiner komplexen Rechnung auch so. Dann das Additionstheorem des Sinus: $\begin{align} f(x) = \underbrace{2 \sin(2)}_{a_1} \cos(x) + \underbrace{2 \cos(2)}_{b_1} \sin(x) \end{align}$ Die komplexen Koeffizienten sind somit $\begin{align} c_1 = \frac{1}{2} \left( a_1 - \operatorname{i} \, b_1 \right) = \sin(2) - \operatorname{i} \, \cos(2) = - \operatorname{i} \operatorname{e}^{2 \operatorname{i}} \end{align}$ $\begin{align} c_{-1} = \overline{c_1} = \sin(2) + \operatorname{i} \, \cos(2) = \operatorname{i} \operatorname{e}^{-2 \operatorname{i}} \end{align}$ $\begin{align} c_k = 0 \, , \ \ k \in \mathbb{Z} \setminus \{1,-1\} \end{align}$ Das sollte sich auch ergeben, wenn man direkt komplex integriert: $\begin{align} c_k = \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} 2 \sin(x+2) \operatorname{e}^{- \operatorname{i}kx} ~ \dd x \end{align}$
02.06.2023, 11:30	NewMathematiker95	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal danke an euch beide, und @Hal 9000, die Aufgabe steht unter Aufgabe 2: Fourrierreihe. ALso denk ich das wir da die benutzen sollen . Manchmal denk ich mir das manche Aufgaben irgendwie kaum so richtig Sinn ergeben oder manchmal auch trivial sind, bzw manchmal auch etwas unverständlich formuliert sind.
02.06.2023, 13:21	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Tja, vielleicht kenne ich nicht alle Interpretations-Varianten, aber nach meiner Kenntnis gibt es nun mal nur Fourier-Reihen für periodische Funktionen - wovon man bei c) aber nicht ausgehen kann.
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