Erwartungswert und Varianz bestimmen

01.06.2023, 11:20	Conductor	Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert und Varianz bestimmen Meine Frage: Ein Messgerät erfasst ein ankommendes radioaktives Teilchen mit Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} p \in (0,1) \end{eqnarray}$ . In einem festgelegten Zeitintervall emittieren N Teilchen von einem radioaaktiven Präperat. N ist Poisson-verteilt mit Parameter $\begin{eqnarray} \lambda > 0 \end{eqnarray}$ . Es sei S_N die Gesamtanzahl der durch den Messgerät erfassten radioaktiven Teilchen (andere radioaktive Quellen gibt es nicht). 1. Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz von S_N 2. Bestimmen Sie die Verteilung von S_N mit Hilfe der erzeugenden Funktion. Meine Ideen: Leider kann ich aus dem Text nicht so richtig die Informationen herauskriegen. Über Hilfe würde ich mich freuen.
01.06.2023, 12:15	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erwartungswert und Varianz bestimmen Du kannst Dir ja mal zuächst den Artikel über die Poisson-Verteilung durchlesen. Viele Grüße Steffen
01.06.2023, 12:18	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
- Die Anzahl $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ der emittierten Teilchen ist poisson-verteilt mit Parameter $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ . - Jedes dieser Teilchen wird - unabhängig von den anderen - mit Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ erfasst, die Anzahl $\begin{eqnarray} S_N \end{eqnarray}$ der erfassten Teilchen ist also auch eine Zufallsgröße. Das kann so modelliert werden: Teilchen $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ wird die Bernoulli-verteilte Zufallsgröße $\begin{eqnarray} X_k\sim B(1,p) \end{eqnarray}$ zugewiesen, dann ist $\begin{eqnarray} S_N = \sum_{k=1}^N X_k \end{eqnarray}$ . Dabei beachte man, dass die Summandenanzahl $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ selbst auch eine Zufallsgröße ist! Über https://de.wikipedia.org/wiki/ Wahrschei...A4lligen_Summen kannst du nun aus den erzeugenden Funktionen von $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} X_1 \end{eqnarray}$ die erzeugende Funktion von $\begin{eqnarray} S_N \end{eqnarray}$ bestimmen und daraus dann auf dessen Verteilung schließen.

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