Von der Singularität einer Matrix auf die Nullstellen schließen

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Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
Von der Singularität einer Matrix auf die Nullstellen schließen
[attach]57112[/attach]Es geht um Beweise zur Gaußschen Integrationsmethode. In dem Numerik-Buch von Burlisch/Stoer wird von einer Matrix auf die Nullstellen geschlossen. Es heißt dort für die orthogonalen Polynome :

Satz: Für beliebige , mit ist die Matrix



nichtsingulär.

Beweis: Wäre singulär, so gäbe es einen Zeilenvektor mit d.h. das Polynom hätte als verschiedene Nullstellen, also müßte identisch verschwinden. Da die höchsten Koeffizienten aller gleich sind, folgt aus sofort der Widerspruch .

Ich kann diesem Beweis nicht ganz folgen. Warum sind die Nullstellen?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Es ist gerade die Spalte von . Da die alle gleich sind, sind das alles Nullstellen.
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Von der Singularität einer Matrix auf die Nullstellen schließen
Zitat:
Original von Ulrich Ruhnau

Satz: Für beliebige , mit ist die Matrix

@Guppi12
Warum sollte gerade die i-te Spalte ein Nullvektor sein?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht hast du mich missverstanden. Ich sagte nicht, dass die i. Spalte der Matrix null ist, sondern dass die i. Spalte des Vektors null ist. So wurde ja gewählt.
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

@Guppi12
Na gut! Wenn also die i. Spalte des Vektors null ist, warum sind dann alle Nullstellen?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Das schrieb ich ja oben: Die i. Spalte dieses Vektors ist genau nach der Definition der Matrixmultiplikation. Also ist für alle .

Etwas genauer: , wobei der Eintrag von in Zeile , Spalte . Was ist das hier konkret?
 
 
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Es mag auch hilfreich sein, sich die Sache für n=2 explizit aufzuschreiben Wink
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Von der Singularität einer Matrix auf die Nullstellen schließen
Zitat:
Original von Ulrich Ruhnau
d.h. das Polynom

@guppi12
Bei mir bleibt ein gewisses Zähneknirschen nicht aus. Ich frage mich nämlich ob es nicht besser wäre,

zu schreiben mit der Eigenschaft:



Warum soll es jetzt keine geben, wo die untere Gleichung nicht gilt?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe den Einwand nicht so richtig. Woher kommen auf einmal die her?
hat doch nur Einträge.

Wenn man die Voraussetzung mal außer Acht lässt, kann es ja durchaus Werte geben, so dass es für jede Wahl von ein gibt, mit .
Das ist dann aber per Definition äquivalent dazu, dass für jedes gilt, dass . Das wiederum heißt, ist nicht singulär. Wenn wir jetzt wieder die Voraussetzung betrachten, sehen wir, dass das nicht zusammen passt.
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Guppi12
Etwas genauer: , wobei der Eintrag von in Zeile , Spalte . Was ist das hier konkret?
Ich bin mir nicht mehr sicher und muß darüber nachdenken.
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Guppi12
Ich verstehe den Einwand nicht so richtig. Woher kommen auf einmal die her?
hat doch nur Einträge.

Meine Überlegung ist die, daß man für jedes einen anderen Satz an braucht um zu machen.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah okay. Das ist nicht der Fall, denn aus der Singularität bekommt man ja einen einzigen Satz , sodass

Das heißt für das einzige sind alle gleich .
Das Ergebnis der Matrix-Multiplikation ist ja wieder ein Vektor, nicht nur ein einziger Eintrag. Und die Einträge dieses Vektors, sind alle (das hattest du im Beitrag vorher nicht ganz richtig aufgeschrieben). Das heißt, alle Einträge sind gleichzeitig .
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »



Ok, natürlich muß wieder ein Vektor herauskommen! Aber jetzt ist die Frage, wie man daraus erkennt, daß auf der rechten Seite der Gleichung ausschließlich Nullen stehen müssen.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

So war c definiert. A ist genau dann singulär, wenn es ein c gibt, so dass da 0 herauskommt.
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, jetzt habe ich es endlich gefressen. smile
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