Euler-Charakteristik bestimmen

02.06.2023, 13:21

Malcang

Euler-Charakteristik bestimmen

Hallo zusammen,

ich beschäftige mich aktuell mit Topologie, genauer gesagt Knotentheorie, und mir fällt die Euler-Chrakteristik nicht leicht. Ich habe das Beispiel des Torus:
[attach]57117[/attach]
Dort habe ich nun 3 Dreiecke eingezeichnet, 7 Kanten und 5 Ecken. Es sollte also $\begin{eqnarray*} \chi(Torus) = 3-7+5 = 1 \end{eqnarray*}$ rauskommen. Aber das ist ja nun ganz falsch. Das korrekte Ergebnis ist laut Wikipedia 0. Aber auch das verstehe ich nicht.
Die Charakteristik ist doch unabhängig von der gewählten Triangulierung. Wenn ich aber nun ein Dreieck an eine bestehende Seite hinzufüge, erhalte ich doch ein Dreieck mehr, zwei Kanten mehr, und eine Ecke mehr. Also ändert sich das (falsche) Ergebnis nicht.

Wo liegt mein Fehler?

02.06.2023, 13:43

HAL 9000

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Mir ist nicht ganz klar, was das mit den Dreiecken soll: Inwiefern repräsentieren die den gesamten Torus???

Soweit ich weiß, genügt die Euler-Charakteristik dem Inklusions-Exklusions-Prinzip, d.h., es gilt $\begin{eqnarray*} \chi(A\cup B) = \chi(A) + \chi(B)- \chi(A\cap B) \end{eqnarray*}$ , wobei nur abgeschlossene Körper $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ betrachtet werden.

Wenn wir hier in deinem Fall z.B. als $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ zwei Halbtori nehmen und die dann "zusammenkleben", dann ist $\begin{eqnarray*} \chi(A)=\chi(B)=1 \end{eqnarray*}$ , denn das sind beides einfach zusammenhängende Körper.

$\begin{eqnarray*} A\cap B \end{eqnarray*}$ ist indes die Vereinigung zweier disjunkter Kreisscheiben $\begin{eqnarray*} K_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K_2 \end{eqnarray*}$ im Raum, es folgt $\begin{eqnarray*} \chi(A\cap B) = \chi(K_1)+\chi(K_2)=1+1 = 2 \end{eqnarray*}$ . Es folgt $\begin{eqnarray*} \chi(A\cup B)=0 \end{eqnarray*}$ .

02.06.2023, 13:53

Malcang

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Hallo HAL, danke für deine Antwort.

Meine Dreiecke repräsentieren nicht den gesamten Torus, das stimmt wohl. Aber das kann ich doch ohnehin niemals erreichen. Oder? verwirrt

Mir ist die gesamte Triangulierung noch nicht klar.

Deine Formel hilft mir weiter, aber leider ist das nicht der Stand unseres Seminares. Daher wollte ich das gerne auf die Triangulierung abstellen und zeigen, wie man mit Trinagulierung auf die Charakteristik kommt.

02.06.2023, 14:53

HAL 9000

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Zitat:

Original von Malcang
Meine Dreiecke repräsentieren nicht den gesamten Torus, das stimmt wohl. Aber das kann ich doch ohnehin niemals erreichen. Oder? verwirrt

Warum nicht? Topologisch äquivalent zum Torus ist (durch entsprechend stetige Verbiegung) z.B. der typische "Bilderrahmen":

Dieses Polyeder bestehet aus E=16 Ecken, K=32 Kanten und F=16 Flächen (sämtlich Vierecke), auch das ergibt $\begin{eqnarray*} E-K+F=0 \end{eqnarray*}$ .

Geht natürlich auch in (im wahrsten Sinne des Wortes) kleinerem Rahmen - ich sag mal salopp "3 Toblerone-Schachteln": Das wären dann E=9 Ecken, K=18 Kanten und F=9 Flächen (auch wieder sämtlich Vierecke), das ergibt ebenfalls Charakteristik $\begin{eqnarray*} E-K+F=0 \end{eqnarray*}$ .

02.06.2023, 15:04

Malcang

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Mir ist gerade noch was eingefallen. Ich könnte doch den Torus aufschneiden und aufklappen. Dann hätte ich ja quais ein Blatt Papier, das die Oberfläche ist. Dieses kann ich ja jetzt mit zwei Dreiecken bedecken:
[attach]57118[/attach]
Jetzt erhalte ich 2 Dreiecke, 5 Kanten und 4 Ecken, also immernoch das falsche Ergebnis 1.
Zähle ich aber 6 Kanten, also wirklich jede einzeln, so stimmt das Ergebnis. Verschmelzen die Kanten denn nicht?

Edit: HAL, das hat sich gerade mit deiner Antwort überschnitten, ich glaube du schreibst genau das.

Edit 2: Ja, ich glaube das geht genau in die Richtung. Ich hätte jetzt nur mit "Bilderrahmen" gerechnet, sondern mit "Blatt Papier": 2D statt 3D verwirrt

08.06.2023, 12:56

Gasttorus

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Nach den Identifizierungen sind das aber 1 Ecke, 3 Kanten und 2 Flächen, d.h. die Euler-Charakteristik ist dann auch E-K+F=1-3+2=0.

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