Diffeomorphismen

04.06.2023, 09:20	Oinker	Auf diesen Beitrag antworten »
Diffeomorphismen Meine Frage: Wir beschreiben die Punkte des $\begin{eqnarray} R^3 \end{eqnarray}$ durch Zylinderkordinaten Zeigen Sie, dass f:U-> ein Diffeomorphismus ist Meine Ideen: Also ich wollte wissen ob mein Ansatz richtig ist. also meine Idee wäre die Jacobi Matrix d(x,y,z)/d(r,phi,z) dann (cos(phi) -rsin(phi) 0 ; sin(phi) rcos(phi) 0; 0 0 1) davon die Determinante wäre r und da r aus (0, unendlich) ist J =d(x,y,z)/d(r,phi,z) ungleich 0 Also ist die Funktion invertierbar Also ist f:u->V ein diffeomorphismus ??? Vielen Dank für eure Hilfe
04.06.2023, 11:45	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Daraus folgt erst einmal nur, dass es überall ein lokaler (!) Diffeomorphismus ist. Du musst noch zeigen, dass die Funktion bijektiv ist, damit es ein (globaler) Diffeomorphismus ist.
04.06.2023, 11:56	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Da sind zwei unterschiedliche Zusammenhänge durcheinandergebracht. Dass die Determinante auf dem Definitionsbereich ungleich null ist, heißt, die Jacobimatrix ist invertierbar. Die Kettenregel schafft dann eine Beziehung zwischen der Jacobimatrix der Umkehrfunktion und der invertierten Jacobimatrix. Allerdings weiß man das nur mit Sicherheit, wenn die Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion bereits bekannt ist. Hierfür ist ein tieferes Resultat vonnöten, der Umkehrsatz oder Satz über inverse Funktionen. Im Übrigen genügt die Angabe der Jacobimatrix für sich allein streng genommen nicht zur Bestätigung der stetigen Differenzierbarkeit. Es wäre zu erwähnen, dass die Ableitungsregeln dies sichern, weil alle auftretenden elementaren Funktionen stetig differenzierbar sind. Unabhängig davon ist noch zu bestätigen, dass die Funktion bijektiv ist, da der Umkehrsatz lediglich die lokale Invertierbarkeit sichert. Falls dies per Angabe der Umkehrfunktion geschieht, ist zu verifizieren, dass sie sowohl eine Links- als auch eine Rechtsinverse ist. Steht der Umkehrsatz nicht zur Verfügung, müssen die Ableitungsregeln auch zur Ableitung der Umkehrfunktion angewendet werden.
04.06.2023, 21:08	LÖNUMEN	Auf diesen Beitrag antworten »
Okokokokokokok Dann probiere ich das mal 1.Schritt Bijektivität Injektivität Angenommen, wir haben zwei verschiedene Punkte (r1, phi1, z1) und (r2, phi 2, z2) in U die auf denselben Punkt in V abgebildet werden, f(r1, phi1, z1) = f(r2, phi 2, z2) Wir zeigen dass (r1, phi1, z1) = (r2, phi 2, z2) Betrachten man die erste Komponente r1cos(phi1)=r2cos(phi2) Da r1 und r2 beide größer als 0 sind kann man die Gleichung durch r1 teilen hat dann cos(phi1)=(r2/r1)(cos(phi2). Da der Cosinus (-1<=cos(phi)<=1) ist r2/r1=1 BEtrachtet man Komponente 2 r1sin(phi1)=r2sin(phi2) da r1=r2 gilt sin(phi1)=sin(phi2) bzw. phi1=phi2+2kpi die dritte Komponennte ist z1=z2 Surjektivität Wir zeigen dass jeder Punkt (x,y,z) in V ein Punkt (r,phi,z) in U existiert sodass f(r,phi,z)=(x,y,z) Betrachtet man x=rcos(phi) y=rsin(phi), z=z Man kann r aus der Gleichung elliminieren indem wir die Quadrate addieren ^2+y^2=r(cos^2(phi)+sin^2(phi))=r^2 sodass r=wurzel(x^2+y^2) Daraus folgt wenn man den Ausdruck für r einsetzt folgt tan(phi)=y/x bzw phi=arctan(y/x) Differnzierbarkeit Die partiellen Ableitungen sind df/dr=(cos(phi),sin(phi),0) df/dphi=(-rsin(phi), r*cos(phi),0) und df/dz=(0,0,1) Diese partiellen Ableitungen sind stetig, da die trigonometrischen Funktionen und Konstanten stetig sind. Die Umkehrabbildung von f ist f^(-1)(x,y,z)= (wurzel(x^2+y^2),arctan(y/x),z) davon sind die partiellen Ableitungen (ich bezeichne mal wurzel(x^2+y^2) weiter als r) df^(-1)/dx=(x/r,-y/r^2,0 df^(-1)/dy=y/r,y/r^2,0) und df^(-1)/dz =(0,0,1) Die sind auch stetig Falls sich das jetzt irgendwer durchließt ist das jetzt so angerissen ein vollständiger Beweis
04.06.2023, 22:01	LÖNUMEN	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurzer kleiner Edit der Fragesteller und ich sin dieselbe Person ich habe parallel auf inem anderen Board noch eine Frage laufen und habe die Namen verwechselt. Ich werde das mal mit einem Account ändern
05.06.2023, 08:34	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir ist unklar, wie du da auf $\begin{eqnarray} \frac{r_2}{r_1}=1 \end{eqnarray}$ kommst. Es ginge so: Wegen $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}r_1\cos\varphi_1 \\ r_1\sin\varphi_1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}r_2\cos\varphi_2 \\ r_2\sin\varphi_2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} (r_1\cos\varphi_1)^2+(r_1\sin\varphi_1)^2 = (r_2\cos\varphi_2)^2+(r_2\sin\varphi_2)^2, \end{eqnarray}$ laut trigonometrischem Pythagoras somit $\begin{eqnarray} r_1^2 = r_2^2, \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} r_1=r_2. \end{eqnarray}$ Was die Winkel angeht, kann es hilfreich sein, die Gitter $\begin{eqnarray} \{(x,y)\mid \cos(x)=\cos(y)\}, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \{(x,y)\mid \sin(x)=\sin(y)\} \end{eqnarray}$ zu zeichnen, deren Schnittmenge sollte $\begin{eqnarray} \{(x,y)\mid x=y\} \end{eqnarray}$ sein; auf dem Quadrat $\begin{eqnarray} (0,2\pi)^2 \end{eqnarray}$ als Grundmenge, versteht sich. Für die Surjektivität brauchst du eine Umrechnung in Polarkoordinaten, die gibt es bei Wikipedia in üppiger Auswahl geschenkt. Nur noch kurz verifizieren, dass die Umrechnung eine Rechtsinverse vermittelt. Zur Differenzierbarkeit müsstest du Folgendes klären. Es seien bspw. $\begin{eqnarray} f_1,f_2,f_3,f_4 \end{eqnarray}$ usw. stetig differenzierbar. Sind dann auch $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} f_1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} f_1 + f_2 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} f_1 f_2 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} f_1 & f_2\\ f_3 & f_4\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ usw. stetig differenzierbar?
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