Umkehrfunktion - Differenzierbar

04.06.2023, 11:00	xx33xx44	Auf diesen Beitrag antworten »
Umkehrfunktion - Differenzierbar Meine Frage: Sei a > 0. Betrachten Sie den Logarithmus loga : (0, unendlich) -> IR zur Basis a. Zeigen Sie mittels der Aussagen zu Umkehrfunktionen, dass diese Abbildung differenzierbar ist und berechnen Sie ebenfalls über die Umkehrfunktion die Ableitung. Meine Ideen: Ich bin verwirrt vom ersten Teil der Aussage: Ist damit gemeint: die Umkehrfunktion ist exp und das ist streng monoton steigend und Differenzierbar mit exp? = exp, also auch log zur Basis a Differenzierbar? Ich bin ein wenig verwirrt?, kann mir jemand helfen?
04.06.2023, 11:10	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Umkehrfunktion ist $\begin{eqnarray} x\mapsto a^x \end{eqnarray}$ , und die ist nur im Fall $\begin{eqnarray} a>1 \end{eqnarray}$ streng monoton steigend. Im anderen Fall $\begin{eqnarray} 0<a<1 \end{eqnarray}$ ist sie hingegen streng monoton fallend. Der Fall $\begin{eqnarray} a=1 \end{eqnarray}$ hätte von der Aufgabenstellung ausgeschlossen werden MÜSSEN - dass das nicht geschehen ist, ist ein echter Fauxpas, denn $\begin{eqnarray} \log_1\left(x\right) \end{eqnarray}$ macht keinen Sinn.
04.06.2023, 11:15	xx33xx44	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, also kann man daraus schließen das sie bijektiv ist, das es ganz IR aufdeckt und wegen Monotonie injektiv. Und wie schließt man daraus auf Differenzierbar?
04.06.2023, 11:17	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Ableitung von $\begin{eqnarray} a^x = e^{x\cdot \ln(a)} \end{eqnarray}$ kennst du ? Und was weißt du über die Beziehung von Ableitung der Ausgangs- und Umkehrfunktion?
04.06.2023, 11:23	xx33xx44	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja dann gilt: f'(x) = 1 / g'(f(x)) Aber was sagt mir das über Differenzierbar, weil man soll ja erst Differenzierbarkeit zeigen und dann erst berechnen
04.06.2023, 11:32	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Umkehrregel sagt schon etwas mehr aus: Ist eine Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ bijektiv sowie an der Stelle $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ differenzierbar mit $\begin{eqnarray} f'(x)\neq 0 \end{eqnarray}$ , dann ist auch $\begin{eqnarray} f^{-1} \end{eqnarray}$ an der Stelle $\begin{eqnarray} y=f(x) \end{eqnarray}$ differenzierbar mit Ableitungswert $\begin{eqnarray} f^{-1}{}'(y) = \frac{1}{f'(x)} \end{eqnarray}$ (was man dann auch als $\begin{eqnarray} f^{-1}{}'(y) = \frac{1}{f'\left(f^{-1}(y)\right)} \end{eqnarray}$ schreiben kann).
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04.06.2023, 11:39	xx33xx44	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, also reicht es von log zur Basis a die Ableitung zu bilden, also 1/(ln(x) * a) und dann bestimmen wo x ungleich 0 ist. Oder was ist die Ableitung, weil log zur Basis a ist log(a) (x) oder?
04.06.2023, 11:52	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreib doch mal KLAR UND DEUTLICH auf, was $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ und zugehörig dann $\begin{eqnarray} f^{-1} \end{eqnarray}$ ist, bilde die Ableitung $\begin{eqnarray} f' \end{eqnarray}$ und nutze die Umkehrregel. Das bringt mehr, als jetzt ewig darüber noch rumzudiskutieren.
04.06.2023, 12:01	xx33xx44	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, ist f ist log zur Basis a von x also log(a) (x), f‘(x) = 1 / ((ln a) * x) Und dann ist f^-1: a^x, also gesamt 1/(1/ln(a)a^x)) = ln (a) a^x

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