Herleitung Keplersche Fassregel

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laurin123456789 Auf diesen Beitrag antworten »
Herleitung Keplersche Fassregel
Meine Frage:
Wie wird die Keplersche Fassregel hergeleitet. Wieso 1/6 und die 4 fach Gewichtung des mittleren Wertes f(a+b/2)? Wird mit der Keplerschen Fassregel immer Volumen berechnen? Welche Aufgaben gibt es für d7e Anwendung dieser Regel?



Meine Ideen:
die 4 fach Gewichtung daher, dass der mittlere Wert besonders präzise ist?

Edith: latex-Code korrigiert
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Keplersche Faßregel heißt nach dem berühmten Mathematiker und Astronomen Johannes Kepler (Keplersche Planetengesetze). Sie diente ursprünglich zur Berechnung des Volumens eines Fasses. Stellt man sich das Faß als Zylinder mit Grundkreisradius und Höhe vor, so ist sein Volumen



Hat nun das Faß in der Mitte einen Bauch, so ersetzt man die einheitliche Kreisfläche des Zylinders durch ein gewichtetes Mittel dreier Kreisflächen, der unten (Radius ), der in der Mitte (Radius ) und der oben (Radius . Und zwar gewichtet man im Verhältnis 1:4:1. So bekommt man die Keplersche Regel für Fässer:



Wie Kepler auf diese Gewichtung kam, ist mir nicht bekannt. Für die Praxis funktionierte die Regel jedenfalls. Im engeren Sinn kann man die Keplersche Faßregel nicht beweisen. Denn sie liefert ja nicht den exakten Wert des Faßvolumens, sondern nur einen Näherungswert. Höchstens könnte man Abschätzungen für den Fehler zwischen dem Kepler-Wert und dem exakten Wert beweisen.

Eine Regel zur approximativen Berechnung eines Integrals arbeitet auch mit der Gewichtung 1:4:1. Wegen des analogen Aufbaus wird sie ebenfalls Keplersche Faßregel genannt, obwohl es hier nicht mehr um eine Volumenberechnung geht. Das Integral über eine vernünftige Funktion über dem Intervall kann mittels



bestimmt werden. Auch hier liegt eine Näherungsformel vor. Die Keplersche Faßregel läßt sich daher strenggenommen nicht beweisen. Allerdings kann man sich die folgende Aufgabe stellen: Man ersetze den Graphen der Funktion durch eine Parabel mit der zugehörigen quadratischen Funktion , so daß und an den drei Stellen übereinstimmen. Dann ermittle man das Integral über statt über . Dieses Integral liefert dann die Keplersche Faßregel. In diesem Sinne kann sie also doch bewiesen werden. Wenn man sich ungeschickt anstellt, ist die Rechnung ziemlich aufwendig. Mit etwas Geschick läßt sie sich aber in wenigen Zeilen durchführen.
laurin123456789 Auf diesen Beitrag antworten »

zunächst einmal ganz herzlichen dank f+r die schnelle antwort. könntest du mir ev. mit dem beweis anhand eines beispiels helfen? VG
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Willkommen im Matheboard!

Natürlich helfen wir Dir! Versuche doch mal, Leopolds zuletzt genannte Anregung auszuführen, also das Integral hinzuschreiben. Dann sehen wir weiter.

Viele Grüße
Steffen
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht noch ein Hinweis. Eine gewisse Verallgemeinerung der dritten binomischen Formel



ist die Formel



Man bestätigt sie sofort durch Ausmultiplizieren der rechten Seite.

Nachdem man das von Steffen angegebene Integral bestimmt und die Glieder nach den Koeffizienten geordnet hat, kann man die obigen Faktorisierungen verwenden und den Faktor vor die Summe ziehen. Dann hat man schon einen Großteil der Rechnung hinter sich.

Hier noch ein Beispiel für die Keplersche Faßregel. Als Funktion nehmen wir , und als Intervall . Es geht also um das Integral



Nun wird durch eine quadratische Funktion ersetzt, die bei 1, bei 2 und bei deren Mitte mit übereinstimmt:



Die zu gehörige Parabel soll also durch die Punkte gehen. Man kann die quadratische Funktion bestimmen. Es ist



(Wert nach der Keplerschen Faßregel)

Wenn man mit der Stammfunktion arbeitet, erhält man



Gar nicht schlecht, der alte Kepler...
Conny_1729 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
...



Hat nun das Faß in der Mitte einen Bauch, so ersetzt man die einheitliche Kreisfläche des Zylinders durch ein gewichtetes Mittel dreier Kreisflächen, der unten (Radius ), der in der Mitte (Radius ) und der oben (Radius . Und zwar gewichtet man im Verhältnis 1:4:1. So bekommt man die Keplersche Regel für Fässer:



...


Hallo,

die Fassregel von Kepler ist ja für eine Parabel (quadratische Funktion) maßgeschneidert worden. Insofern passt die 1:4:1-Gewichtung hinsichtlich der Flächenberechnung genau. Wenn es aber um das "Fassvolumen" (=Rotationskörper) geht, dürfte das Übertragen der 1:4:1-Gewichtung allein auf die quadrierten Radienwerte nun wirklich nur noch eine Annäherung sein. Denn für eine Parabel-Rotation würde eher passen:


Das ist aber nicht so elegant und kurz wie die Schreibweise der Kepler-Näherung.

Grüße von
Conny.
 
 
zyko Auf diesen Beitrag antworten »
Herleitung der Keplerschen Fassregel
Herleitung der Keplerschen Fassregel, s. unter

http://groolfs.de/Facharbeitenpdf/FacharbeitMESG.pdf
S. 8 ff
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