Ableitung der Fouriertransformation

04.06.2023, 21:30	NewMathematiker95	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung der Fouriertransformation Guten Abend, wir haben folgende Aufgabe gegeben: Es sei $\begin{eqnarray} f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray}$ eine stetig differenzierbare absolut integrable Funktion, sodass auch die Ableitung $\begin{eqnarray} f' \end{eqnarray}$ absolut integrabel ist. Beweisen Sie die Fouriertransformation der Ableitung: $\begin{eqnarray} \hat{f'(w)}=iw\hat{f(w)} \end{eqnarray}$ . Dabei ist $\begin{eqnarray} \hat{f(w)} \end{eqnarray}$ die Fouriertransformierte von f. $\begin{eqnarray} \hat{f(w)}=\int_{-\infty}^{\infty} \! f(x)e^{-iwx} \, dx \end{eqnarray}$ Meine Rechnung : $\begin{eqnarray} \hat{f'(w)}=\int_{-\infty}^{\infty} \! f'(x)e^{-iwx} \, dx = \left[f(x)e^{-iwx}\right]_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^{\infty} \! f(x)e^{-iwx}(-iw) \, dx = \left[f(x)e^{-iwx}\right]_{-\infty}^{\infty} +iw \int_{-\infty}^{\infty} \! f(x)e^{-iwx} \, dx = \left[f(x)e^{-iwx}\right]_{-\infty}^{\infty} +iw \hat{f(w)} \end{eqnarray}$ Nun müsste aber $\begin{eqnarray} \left[f(x)e^{-iwx}\right]_{-\infty}^{\infty} = 0 \end{eqnarray}$ sein, wie zeige ich das am besten. Absolut integabel heißt bei uns : $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty} \! \|f(x)\| \, dx < \infty \end{eqnarray}$ . Das heißt ich weiß mein Integral ist endlich , aber warum sollte es null sein? Oder hab ich grad nen totalen Hänger... Eine Idee wäre es ja auch $\begin{eqnarray} \hat{f(w)} \end{eqnarray}$ abzuleiten, aber da ist die Frage ob man Integral und Ableitung vertauschen darf Danke schonmal
05.06.2023, 10:52	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sieht alles ganz gut aus von der Idee. Tatsächlich kannst du nicht (alleinig aus $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ absolut integrable) schließen, dass $\begin{eqnarray} \left[f(x)e^{-iwx}\right]_{-\infty}^{\infty}=0 \end{eqnarray}$ ist. Dafür ist "absolut integrable" eine zu schwache Bedingung. Was aber gilt: $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ absolut-integrable $\begin{eqnarray} \implies \end{eqnarray}$ es gibt $\begin{eqnarray} a_k \to \infty, b_k \to -\infty \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \lim_{k\to\infty} f(a_k) = \lim_{k\to\infty} f(b_k) = 0 \end{eqnarray}$ . Es gibt potentiell aber andere Folgen, die es nicht erfüllen. D.h. wenn du startest mit $\begin{eqnarray} \hat{f'}(w)=\int_{-\infty}^{\infty} \! f'(x)e^{-iwx} \, dx =\lim_{k\to\infty} \int_{b_k}^{a_k} \! f'(x)e^{-iwx} \, dx \end{eqnarray}$ und deine Rechnung durchführst, kommst du zum Ergebnis. Edit: Mit $\begin{eqnarray} f' \end{eqnarray}$ absolut integrabel, muss auch $\begin{eqnarray} \left[f(x)e^{-iwx}\right]_{-\infty}^{\infty}=0 \end{eqnarray}$ folgen. Indirekt kann man das mit dem obigen Ansatz zeigen. Oben editiert, damit es korrekt ist.

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