Verkettung ist selbstadjungiert

06.06.2023, 08:30	Conductor	Auf diesen Beitrag antworten »
Verkettung ist selbstadjungiert Meine Frage: Sei (V, $\begin{eqnarray} \langle , \rangle \end{eqnarray}$ ) ein euklidischer Vektorraum und F,G: V $\begin{eqnarray} \rightarrow \end{eqnarray}$ V selbstadjungiert. Zeigen Sie $\begin{eqnarray} F \circ G \end{eqnarray}$ ist genau dann selbstadjungiert, wenn $\begin{eqnarray} F \circ G \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} G \circ F \end{eqnarray}$ gilt. Meine Ideen: Wir haben selbstadjungiert folgendermaßen definiert: Sei V, $\begin{eqnarray} \langle, \rangle \end{eqnarray}$ ein euklidischer (oder unitärer) Vektorraum. Dann heißt eine lineare Abbildung A: V $\begin{eqnarray} \rightarrow \end{eqnarray}$ V selbstadjungiert wenn $\begin{eqnarray} \langle Av,w \rangle \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \langle v,Aw \rangle \end{eqnarray}$ für alle v,W aus V. Reicht es dann die Definition anzuwenden um zu zeigen dass $\begin{eqnarray} F \circ G \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} G \circ F \end{eqnarray}$ gilt, oder muss man noch was machen?
06.06.2023, 08:56	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau dann wenn heißt: Wenn die Definition gilt, dann ist FG=GF UND Wenn FG=GF ist, dann gilt die Definition.
06.06.2023, 09:49	Conductor	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe schon gezeigt, dass wenn FG = GF , die Definition gilt. Doch wie zeige ich die andere Richtung?
06.06.2023, 13:26	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie hast du die eine Richtung gezeigt, und warum lässt sich dein Beweis nicht einfach umkehren? Gilt die Aussage in beliebigen euklidischen Vektorräumen oder nur in Spezialfaellen, z.B. nur für endlichdimensionale Vektorräume, z.B. nur für das Standardskalarprodukt?
06.06.2023, 18:18	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn $\begin{eqnarray} F\circ G \end{eqnarray}$ selbstadjungiert ist, dann hat man $\begin{eqnarray} \langle v, F\circ G \ w \rangle = \langle v, G\circ F \ w \rangle \end{eqnarray}$ Warum gilt das und reicht dir das als Hinweise?
07.06.2023, 13:40	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, soweit komme ich in beiden Richtungen unter der Voraussetzung F, G selbstadjungiert durch Einsetzen in das Skalarprodukt. Schande über mich, Asche auf mein Haupt, ich kriege den Schluß nicht hin. War es nicht immer wieder nützlich in der multilunearen Algebra, Basisvektoren einzusetzen? Verdammt lang her,..., Conductor oder URL, bitte klärt mich auf.
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07.06.2023, 15:20	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \langle v, F\circ G \ w \rangle = \langle v, G\circ F \ w \rangle \iff \langle v, (F\circ G - G \circ F) \ w \rangle = 0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} v,w \end{eqnarray}$ . Insb. für $\begin{eqnarray} v = (F\circ G - G \circ F) \ w \end{eqnarray}$ . Dann kann man die positive Definitheit des Skalarproduktes zur Argumentation nutzen.
07.06.2023, 15:40	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Passt, danke. Hat das in der Quantenmechanik irgendeine Bedeutung, oder ist es nur an und für sich wissenswert ?

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