Unbekannte in der Basis und im Exponent

06.06.2023, 11:24

SIG X6

Unbekannte in der Basis und im Exponent

Meine Frage:
Die Gleichung lautet: X^4 + 4^X = 512

Meine Ideen:
Natürlich kann ich die Lösung mit X=4.
Aber wie komme ich rein rechnerisch darauf?
Die 4. Wurzel nutzt ebenso wenig wie der ln.
Wegen unterschiedlicher Basis und unterschiedlichem Exponent
kann man den Ausdruck nicht vereinfachen oder zusammen fassen.
Leider sehe ich keinen Lösungsansatz.

06.06.2023, 12:26

Leopold

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RE: Unbekannte in der Basis und im Exponent

Zitat:

Original von SIG X6
Leider sehe ich keinen Lösungsansatz.

Manchmal gelingt es, aufgrund gewisser Zahlenkonstellationen solche Gleichungen durch raffinierte Umformungen zu lösen. Hier könnte man an $\begin{align*} 2^4 = 4^2 \end{align*}$ denken. Auf die Schnelle sehe ich aber auch nicht, ob es hier einen genialen Trick gibt. Denn im Allgemeinen lassen sich solche transzendenten Gleichungen nicht mehr durch einen einfachen Umformungskalkül lösen.

Für $\begin{align*} x \geq 0 \end{align*}$ sind die Funktionen $\begin{align*} x \mapsto x^4 \end{align*}$ und $\begin{align*} x \mapsto 4^x \end{align*}$ streng monoton wachsend, also ist es auch ihre Summe. Wenn du daher mit $\begin{align*} x=4 \end{align*}$ eine Lösung gefunden hast, muß dies auch die einzige für $\begin{align*} x \geq 0 \end{align*}$ sein. Das genügt als Argumentation.
Allerdings gibt es auch für $\begin{align*} x<0 \end{align*}$ noch eine Lösung: $\begin{align*} x = -4{,}756825 \ldots \end{align*}$

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