Nullvektor als Eigenvektor

06.06.2023, 19:44	Trilobit	Auf diesen Beitrag antworten »
Nullvektor als Eigenvektor Meine Frage: Guten Abend, ich soll für die Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}[ccc\|c]<br /> \frac{5}{4} & -\frac{\sqrt{3}}{4} & 0\\<br /> -\frac{\sqrt{3}}{4} & \frac{7}{4} & 0\\<br /> 0 & 0 & -1<br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ die Eigenvektoren bestimmen. Die Eigenwerte hab ich aus dem charakteristischen Polynom [ $\begin{eqnarray} (-1-\lambda) ((\frac{5}{4}-\lambda)(\frac{7}{4}-\lambda) - \frac{3}{16}) \end{eqnarray}$ ] bilden können: {-1,1,2}. Meine Ideen: Für den Eigenwert -1 berechnet sich der Eigenvektor $\begin{eqnarray} x \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, x \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Für den zweiten Eigenwert 1 bekomme ich jedoch den Nullvektor raus: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}<br /> \frac{5}{4} -1 & -\frac{\sqrt{3}}{4} & 0 & 0\\<br /> -\frac{\sqrt{3}}{4} & \frac{7}{4} -1 & 0 & 0\\<br /> 0 & 0 & -2 & 0<br /> \end{pmatrix}\\:=\begin{pmatrix}<br /> \frac{1}{4} & -\frac{\sqrt{3}}{4} & 0 & 0\\<br /> 0 & \frac{3}{4}-\sqrt{3}\frac{\sqrt{3}}{4} & 0 & 0\\<br /> 0 & 0 & -2 & 0<br /> \end{pmatrix} II + \sqrt{3} I\\ \end{eqnarray}$ , woraus sich der Nullvektor berechnet, was laut Definition der Eigenvektoren nicht passieren sollte. Mein erster Gedanke war, das ich mich verrechnet habe, allerdings scheint die Matrix aufgrund ihrer Form immer auf den Nullvektor rauszulaufen, sofern der Eigenwert $\begin{eqnarray} \neq -1 \end{eqnarray*}$ ist. Falls jemand den Fehler sieht oder weiß, was ich falsch mache, freu ich mich über jede Antwort
06.06.2023, 20:15	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullvektor als Eigenvektor Du hast doch in der zweiten Zeile eine Nullzeile und damit einen Freiheitsgrad in der Lösung $\begin{eqnarray} x_1=\sqrt 3 x_2 \end{eqnarray}$
06.06.2023, 21:21	Trilobit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullvektor als Eigenvektor Tut mir leid, ich seh nicht, welche Zeile du meinst. Mit ist leider das Format etwas verrutscht, ich kann den Beitrag auch nicht mehr editieren
06.06.2023, 21:38	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
3/4-3/4=0 steht in der 2. Zeile (und der 2. Spalte).
06.06.2023, 23:03	Trilobit	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, ich hab übersehen, dass sich $\begin{eqnarray} \frac{3}{4}-\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \end{eqnarray}$ zu 0 umformen lässt! Jetzt macht die ganze Rechnung gleich mehr Sinn

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