Geometrische Knobelaufgabe

07.06.2023, 12:54	Helmuth_R	Auf diesen Beitrag antworten »
Geometrische Knobelaufgabe Meine Frage: Hallo! Gegeben ist die folgende Aufgabe: "Die Strecke AB ist Durchmesser eines Halbkreises mit Mittelpunkt M. Auf dem Halbkreis liegen zwei Punkte P und Q so, dass der Winkel AMP gleich dem Winkel PMQ mit 72° ist. Der Umkreis des Dreiecks PMQ schneide die Strecke AB in einem weiteren Punkt R. Zeige, dass die Strecken PR und PB den Winkel MPQ in drei gleich große Winkel teilen". Meine Ideen: Aus der Angabe konnte ich bereits ableiten, dass das die Dreiecke MQP und AMP gleichschenklige Dreiecke sein müssen, wobei die Basiswinkel jeweils 54° sind und der verbleibende Winkel bereits gegeben ist. Durch den Satz des Thales angewendet auf das Dreieck ABP erkennt man sofort, dass der Winkel QPB 18° haben muss, also ist bereits gezeigt, dass die Strecke PQ den Winkel MPQ drittelt, sofern auch der verbleibende Winkel BPM durch die Drecke PR halbiert wird. Dieser Beweis ist mir bisher leider nicht gelungen. Meine Ideen hierzu wären zu zeigen, dass die Strecke PR orthogonal auf der Strecke MQ steht oder dass die Strecke M zum Schnittpunkt von der Strecke PR und MQ genau 1/4 des Radius' ist (z.B. mittels Strahlensatz, wobei ich hier noch keine passende Ähnlichkeit gefunden habe). Hat jemand einen Hinweis für mich oder liege ich ganz falsch?
07.06.2023, 13:28	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ liegt auf dem selben Kreis wie $\begin{eqnarray} P,M,Q \end{eqnarray}$ , daher ist (am besten Skizze machen!) $\begin{eqnarray} MRPQ \end{eqnarray}$ ein Sehnenviereck. Daher ist $\begin{eqnarray} \|\angle MRQ\| = 180^{\circ} - \|\angle MPQ\| = 126^{\circ} \end{eqnarray}$ . Außerdem ist $\begin{eqnarray} \|\angle QMR\| = 36^{\circ} \end{eqnarray}$ , so dass sich nach Winkelsumme im Dreieck $\begin{eqnarray} MRQ \end{eqnarray}$ schließlich $\begin{eqnarray} \|\angle RQM\| = 180^{\circ} - \|\angle MRQ\| - \|\angle QMR\| = 18^{\circ} \end{eqnarray}$ ergibt. Schließlich liefert der Umfangswinkelsatz im Umkreis des Dreiecks $\begin{eqnarray} PMQ \end{eqnarray}$ das noch fehlende $\begin{eqnarray} \|\angle RPM\| = \|\angle RQM\| \end{eqnarray}$ . P.S.: Hübsche Konstruktion einer Winkeldreiteilung - leider nur für einen sehr speziellen Winkel ausgelegt.
07.06.2023, 13:49	Helmuth_R	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahhh ja logisch. Super, danke, jetzt ist mir alles klar!
07.06.2023, 13:53	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Geht noch kürzer: Nach Umfangwinkelsatz im Umkreis von $\begin{eqnarray} PMQ \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \|\angle MRP\| = \|\angle MQP\| = 54^{\circ} \end{eqnarray}$ . Außerdem gilt $\begin{eqnarray} \|\angle PMR\| = 180^{\circ}-72^{\circ} = 108^{\circ} \end{eqnarray}$ . Nach Winkelsumme im Dreieck $\begin{eqnarray} PMR \end{eqnarray}$ gilt daher $\begin{eqnarray} \|\angle RPM\| = 180^{\circ} - \|\angle PMR\| - \|\angle MRP\| = 18^{\circ} \end{eqnarray}$ . Den ersten Teilwinkel $\begin{eqnarray} \|\angle QPB\| = 18^{\circ} \end{eqnarray}$ hätte ich übrigens via Kreiswinkelsatz im großen (Halb-)Kreis begründet, denn laut dem gilt ja $\begin{eqnarray} \|\angle QPB\| = \frac{1}{2}\cdot \|\angle QMB\| \end{eqnarray}$ .
07.06.2023, 20:58	Helmuth_R	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man deine Lösungen so liest, ist es fast peinlich, dass ich so lange auf dem Schlauch gestanden bin Danke jedenfalls!
08.06.2023, 14:28	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, überhaupt nicht. Kommt gelegentlich vor, dass man erst eine umständliche Lösung hat und dann doch erkennt, dass es einfacher geht (s.o.). Schaut man sich nur das Endresultat an, sagt man sich "Na das war ja einfach!". War es aber eben nicht unbedingt - die Irrwege lässt man in der Enddarstellung ja weg.
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