Kugel berührt Ebene

08.06.2023, 00:03

Cinzio22

Kugel berührt Ebene

Hallo zusammen

Ich habe eine Ebenen- sowie Kugelgleichung gegeben. Nun soll ich zeigen, dass die Kugel K die Ebene E im Punkt P berührt.

Frage: Reicht es hier, zu zeigen, dass
(1) P liegt auf K, P liegt auf E
(2) MP steht senkrecht auf E

?

Danke für eure Inputs.

08.06.2023, 00:30

klauss

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RE: Kugel berührt Ebene
Das wäre so in Ordnung.

08.06.2023, 16:23

Cinzio22

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RE: Kugel berührt Ebene
Danke. smile

Gibt es noch alternative Lösungswege?

08.06.2023, 16:48

klauss

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RE: Kugel berührt Ebene
Mit bekannter Kugel- und Ebenengleichung sind insbesondere bekannt
$\begin{eqnarray*} r>0 \end{eqnarray*}$ : Kugelradius
$\begin{eqnarray*} \vec{M} \end{eqnarray*}$ : Ortsvektor des Kugelmittelpunkts
$\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ : ein Normalenvektor der Ebene

Voraussetzung: P $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ E
Bildet man die Linearkombination
$\begin{eqnarray*} \vec{P_{1,2}}=\vec{M}\pm \frac{r}{| \vec{n} | }\cdot \vec{n} \end{eqnarray*}$
dann muß Punkt P eine der beiden Lösungen sein.

08.06.2023, 19:15

werner

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RE: Kugel berührt Ebene

Zitat:

Original von Cinzio22
Danke. smile

Gibt es noch alternative Lösungswege?

ja, die HNF der Ebene smile

09.06.2023, 13:09

Cinzio22

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RE: Kugel berührt Ebene
Mir sind alle Varianten klar, bis auf die HNF.

Hierzu normiere ich den Normalenvektor der Ebene, suche einen Aufpunkt (da nehme ich doch gleich den Punkt P, oder?)
Dann kann ich die HNF-Ebenengleichung darstellen, diese hat die Form: "normierter Normalenvektor" * (x - P) = 0

--> Doch was bringt mir das?

09.06.2023, 15:28

klauss

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RE: Kugel berührt Ebene
Wenn man $\begin{eqnarray*} \vec{M} \end{eqnarray*}$ in die HNF einsetzt und der Abstand ME gleich $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ ist, liegt eine Tangentialebene an der Kugel vor.
Ist P $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ E und Abstand PM auch gleich $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ , dann ist P der Berührpunkt.

09.06.2023, 17:00

Cinzio22

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RE: Kugel berührt Ebene
Vielen Dank für die Ausführungen. So macht das Ganze natürlich sehr viel Sinn! smile

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Kugel berührt Ebene

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