Unfallwahrscheinlichkeit

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Dulli Auf diesen Beitrag antworten »
Unfallwahrscheinlichkeit
Meine Frage:
Hallo,
ich verstehe noch wo mein Denkfehler liegt und hoffe Ihr könnt mir helfen.
Ein Fahrzeug hat im Schnitt nach 20 Jahren einen Unfall.
Also 0,05 Unfälle/Jahr und Unfallwahrscheinlichkeit von 5%/Jahr.
Das macht bei 200 Fahrzeugen 10 Unfälle/Jahr. (0,05*200)

So. Jetzt möchte ich die Wahrscheinlichkeit bei 200 Fahrzeugen für 10 Unfälle/Jahr ausrechnen.
1 Unfall/Jahr 5%. 10 Unfälle/Jahr = 0,05^10
10 Unfälle bei 200 Fahrzeugen mittels Komplementärwahrscheinlichkeit um herauszufinden wie hoch die Wahrscheinlichkeit für keinen Unfall ist: (1-0,05^10)^200
Dann 1-(1-0,05^10)^200 für die Wahrscheinlichkeit 10 Unfällle/Jahr.
Die Wahrscheinlichkeit ist nach dieser Rechnung nahezu Null. Wie passt das mit der Annahme oben zusammen 10 Unfälle/Jahr bei 200 Fahrzeugen?
Pls Help.


Meine Ideen:
siehe Frage
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung Denkfehler?
Zitat:
verbessertes Original von Dulli

Dann für die Wahrscheinlichkeit 10 Unfällle/Jahr.


ist die Whs, daß ein Auto in einem Jahr verunglücken würde.

ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß das Auto genau 10 mal verunglückt, genau einmal in jedem Jahr.

ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß das 200 anderen Autos nicht so passiert, wobei diese nur danach ausgewählt wurden, daß bei jedem Auto 0,05 Unfälle pro Jahr vorkommen sollten und es sich dabei um die ganze Stichprobe handelt.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dulli
Also 0,05 Unfälle/Jahr und Unfallwahrscheinlichkeit von 5%/Jahr.

Letzteres stimmt nicht exakt:

Die Anzahl der Unfälle pro Jahr ist nach diesem Modell poissonverteilt mit Parameter . Die Wahrscheinlichkeit, dass man in diesem Jahr mindestens (!) einen Unfall hat, beträgt stattdessen

,

also etwas weniger als 0.05. Der Grund ist, dass man ja auch zwei oder mehr Unfälle in dem Jahr haben kann, wenn auch mit sehr sehr kleiner Wahrscheinlichkeit. Erwartungswert 0.05 der Unfallanzahl darf man daher NICHT mit der Unfallwahrscheinlichkeit gleichsetzen.

Zitat:
Original von Dulli
1 Unfall/Jahr 5%. 10 Unfälle/Jahr = 0,05^10

Der nächste falsche Schluss. Wie gesagt, besitzt die o.g. Poissonverteilung, die Wahrscheinlichkeit für (mindestens) 10 Unfälle pro Jahr ist dann

.

Ein eklatant anderer Wert als dein !!!


Überhaupt ist diese bloße Potenzierung hier vollkommen fehl am Platze: Die wäre höchstens angemessen wenn man berechnen will, in 10 aufeinander folgenden Jahren jeweils mindestens einen Unfall pro Jahr zu bauen - allerdings müsste man das eher per berechnen (s.o.).

Zitat:
Original von Dulli
Das macht bei 200 Fahrzeugen 10 Unfälle/Jahr. (0,05*200)

Das ist natürlich so gemeint, dass die 200 Fahrzeuge INSGESAMT auf 10 Unfälle/Jahr kommen. Insofern verstehe ich nicht, warum du mit Wahrscheinlichkeiten rumrechnest, wo einzelne Fahrzeuge 10 Unfälle pro Jahr haben (und das überdies falsch berechnet, s.o.) - das ist doch irrelevant, weil kaum vorkommend und ja auch überhaupt nicht nötig, um auf Gesamtzahl 10 zu kommen.

Die Summe unabhängiger Poisson-Verteilungen ist wieder poissonverteilt, und zwar mit einem Parameter, der der Summe der Einzelparameter entspricht. Insofern gilt für die Gesamtunfallanzahl pro Jahr aller 200 Fahrzeuge zusammen dann .

Es ergibt sich damit bzw. für GENAU 10 Unfälle .
Dulli Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal danke für die Antworten. Habe es soweit verstanden :-)

Zitat:
0,0510 ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß das Auto genau 10 mal verunglückt, genau einmal in jedem Jahr.


Dabei ist es egal ob es 10x das gleiche Auto ist oder 10x ein anderes.
Also ist diese Wahrscheinlichkeit genau so hoch wie dass 10 Autos in gleichen Jahr jeweils unabhängig einen Unfall haben. Ich denke dass ist soweit auch korrekt.

Aber der Schluss dass dies so hoch ist wie dass ein Auto 10 Unfälle/Jahr hat ist der Falsche. Oder?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dulli
Erstmal danke für die Antworten. Habe es soweit verstanden :-)

Das bezieht sich auf den Beitrag von U.Ruhnau, oder? Dass das mit der Poisson-Verteilung aus meinem Beitrag wirklich angekommen ist, den Eindruck habe ich nicht.
Dulli Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal danke für deinen Input! Ich habe mich die letzten Tage nochmal gedanklich dieser Aufgabe gewidmet und habe folgende Fragen:

Zitat:
Die Anzahl X der Unfälle pro Jahr ist nach diesem Modell poissonverteilt mit Parameter ¼=0.05. Die Wahrscheinlichkeit, dass man in diesem Jahr mindestens (!) einen Unfall hat, beträgt stattdessen

P(X≥1)=1−e−¼=1−e−0.05≈0.04877


1. Bei Poisson ist doch » = n · p. D.h. Unfallwahrscheinlichkeit bei einem Erwartungswert von »=0.05 und einem Fahrzeug und einem Unfall pro einem Jahr n=1 muss doch ebenfalls p=0.05. Wieso kann dann Erwartungswert nicht Unfallwahrscheinlichkeit gleichgesetzt sein?
Wie passt das mit den Ergebnis von P(X = 1): 0.04756?

2.Ist Poisson nicht nur für große n? Liegt der Knackpunkt evtl. darin?

Zitat:
Die Summe unabhängiger Poisson-Verteilungen ist wieder poissonverteilt, und zwar mit einem Parameter, der der Summe der Einzelparameter entspricht. Insofern gilt für die Gesamtunfallanzahl Y pro Jahr aller 200 Fahrzeuge zusammen dann Y∼Poisson(10).


3.Ich kann die Aufgabe doch auch durch die Binomialverteilung lösen. Für n=200 p=0,05 bekomme ich für x≥10 ein Ergebnis was deinem etwa entspricht 0,54529. Ist Lösung durch die Binomialverteilung nicht genauer? Kann ich hier mit p=0,005 rechnen oder müsste ich mit dem o.g. Wert von 0.04756 rechnen?
 
 
Dulli Auf diesen Beitrag antworten »

Edit:

Erstmal danke für deinen Input! Ich habe mich die letzten Tage nochmal gedanklich dieser Aufgabe gewidmet und habe folgende Fragen:

Zitat:
Die Anzahl X der Unfälle pro Jahr ist nach diesem Modell poissonverteilt mit Parameter ¼=0.05. Die Wahrscheinlichkeit, dass man in diesem Jahr mindestens (!) einen Unfall hat, beträgt stattdessen

P(X≥1)=1−e−¼=1−e−0.05≈0.04877


1. Bei Poisson ist doch = n · p. D.h. Unfallwahrscheinlichkeit bei einem Erwartungswert von =0.05 und einem Fahrzeug und einem Unfall pro einem Jahr n=1 muss doch ebenfalls p=0.05. Wieso kann in diesem Fall der Erwartungswert nicht der Unfallwahrscheinlichkeit gleichgesetzt sein? Wie passt das mit den Ergebnis von P(X = 1): 0.04756 zusammen?

2.Ist Poisson nicht nur für große n? Liegt der Knackpunkt evtl. darin?

Zitat:
Die Summe unabhängiger Poisson-Verteilungen ist wieder poissonverteilt, und zwar mit einem Parameter, der der Summe der Einzelparameter entspricht. Insofern gilt für die Gesamtunfallanzahl Y pro Jahr aller 200 Fahrzeuge zusammen dann Y∼Poisson(10).


3.Ich kann die Aufgabe doch auch durch die Binomialverteilung lösen. Für n=200 p=0,05 bekomme ich für x10 ein Ergebnis was deinem etwa entspricht 0,54529. Ist Lösung durch die Binomialverteilung nicht genauer? Kann ich hier mit p=0,005 rechnen oder müsste ich mit dem o.g. Wert von 0.04756 rechnen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dulli
Wieso kann dann Erwartungswert nicht Unfallwahrscheinlichkeit gleichgesetzt sein?

Warum sollte das der Fall sein? Diese Gleichsetzung ist nur für 0-1-Zufallsgrößen richtig. Kannst du hier garantieren, dass gesichert immer nur maximal ein Unfall pro Jahr und Fahrzeug eintritt???


Aber wenn du es nochmal in ausführlichem Klein-klein hören willst:

Unfallanzahl 1 passiert mit Wkt und geht mit in den Erwartungswert ein.

Unfallanzahl 2 passiert mit Wkt und geht mit in den Erwartungswert ein.

Unfallanzahl 3 passiert mit Wkt und geht mit in den Erwartungswert ein.

...

Die Summe der linken Werte ergibt , die Unfallwahrscheinlichkeit innerhalb eines Jahres, während die Summe der rechten Werte die erwartete Anzahl Unfälle in diesem Jahr ergibt.

Jetzt klar???



P.S.: Und bitte zitier mal richtig, dafür gibt es hier im Board sogar einen Button. Dein Copy+Paste-Müll ist unerträglich zu lesen. Finger2
Dulli Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry. Danke für Deine Geduld. Noch einmal, auch wenn ich glaube, dass du gleich verrückt wirst :-S.
Ich verstehe den Berechnungsweg. Was ich nicht verstehe, ist folgendes:

Erwartungswert
Wenn wir von einem Fahrzeug reden und einem muss doch nach o.g. Formel sein. Ein Fahrzeug, ein Unfall, eine Wahrscheinlichkeit von . Ich verstehe nicht, warum nicht kongruent ist.

Vielleicht steht es schon in deiner Erklärung. Dann habe ich es immer noch nicht verstanden.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dulli
Ich verstehe nicht, warum nicht kongruent ist.

Und ich verstehe nicht, was hier "Kongruenz" bedeuten soll.

-----------------------------------------------------------------------

Ok, nochmal ganz einfach runtergebrochen:

Bist du dir bewusst, dass ein Fahrzeug innerhalb eines Jahres (oder auch eines anderen Zeitaums) auch mehr als einen Unfall haben kann - wenn auch mit geringer Wahrscheinlichket?

Das scheinst du in Abrede zu stellen. Wenn dem so ist, dann kann man mit dem für solche Fälle eigentlich üblichen Poisson-Verteilungsmodell nicht rechnen. Dann muss ein anderes Modell her, wie etwa:

Zitat:
Ein Fahrzeug hat innerhalb eines Jahres genau einen Unfall mit Wkt , und mit Wahrscheinlichkeit keinen Unfall. Mehr als ein Unfall innerhalb dieses Jahres wird gesetzlich verboten.


Dieses Modell hat den riesigen Nachteil, dass die Unfallanzahlen in verschiedenen Zeiträumen i.a. NICHT mehr unabhängig voneinander sind - betrifft z.B. die im ersten und zweiten Halbjahr desselben Jahres. unglücklich
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