Kettenregel für Partielle Ableitung höherer Ordnung

09.06.2023, 17:25	Hann04	Auf diesen Beitrag antworten »
Kettenregel für Partielle Ableitung höherer Ordnung Meine Frage: Gegeben sei $\begin{eqnarray} f: R^m \to R^n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g: R^n \to R \end{eqnarray}$ stetig differenzierbare Funktionen. Wie berechnet man $\begin{eqnarray} \partial_i \partial_j (g\circ f)(\xi) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} i,j \in \{1,2,...,m\} \end{eqnarray}$ und wie kann man die Formel beweisen? (Schreib die Formel mit partieller Ableitung zweiter Ordung von $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ und von den Koordinatenfunktionen von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ auf.) Meine Ideen: Ähnlich wie die Kettenregel von totaler Ableitung: $\begin{eqnarray} \partial_i\partial_j(g\circ f)(\xi) = \partial_i\partial_j(g)(f(\xi))\cdot\sum_{k=1}^{n}\partial_i\partial_j(f_k)(\xi) \end{eqnarray}$ Aber ich kann dies nicht beweisen.
10.06.2023, 10:29	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, hast du wirklich nicht mehr, als stetige Differenzierbarkeit gegeben? Wenn du partielle Ableitungen zweiter Ordnung bestimmen sollst, wird das nicht ausreichen, dafür müsstest du schon zweimal differenzieren können.
10.06.2023, 10:37	Hann04	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah du hast recht. Statt „stetig dif.bar“ sind f und g C^2-Funktionen, also auch zweimal dif.bar. Danke!
10.06.2023, 11:57	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst dir wahrscheinlich schon denken, dass so ein Beweis ziemlich technisch werden wird. Kennst du schon die Kettenregel für partielle Ableitungen erster Ordnung? Also $\begin{eqnarray} \frac{\partial(g\circ f)}{\partial x_k}(x) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial g}{\partial x_i}(f(x))\cdot \frac{\partial f_i}{\partial x_k}(x) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} k\in\{1,...,m\} \end{eqnarray}$ ? Falls nein, würde ich erstmal das beweisen. Das ist etwas einfacher, als der Beweis für zweite partielle Ableitungen und auch die Grundlage für den letzteren. Wenn du das hast, kannst du diesen Ausdruck nochmal partiell nach $\begin{eqnarray} x_j \end{eqnarray}$ differenzieren. Dafür wirst du wieder die Regel für partielle Ableitungen erster Ordnung brauchen. Also: $\begin{eqnarray} \frac{\partial^2(g\circ f)}{\partial x_j\partial x_k}(x) = \sum_{i=1}^n\frac{\partial h_i}{\partial x_j}(x)\cdot \frac{\partial f_i}{\partial x_k}(x) + \frac{\partial g}{\partial x_i}(f(x))\cdot \frac{\partial^2 f_i}{\partial x_j\partial x_k}(x) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} h_i:\mathbb R^m\to\mathbb R, x\mapsto \frac{\partial g}{\partial x_i}(f(x)) \end{eqnarray}$ . Für die Ableitung von $\begin{eqnarray} h_i \end{eqnarray}$ jetzt nochmal die Kettenregel und das wars.

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