DGL, Einschränkung x

12.06.2023, 01:48	neuerStudent	Auf diesen Beitrag antworten »
DGL, Einschränkung x Meine Frage: xy' = - y + x^2 <--> y' = -1/x y + x Warum muss hier x>0 eingeschränkt werden? Meine Ideen: Ich hätte nur x!=0 eingeschränkt...
12.06.2023, 09:12	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Muss es ja nicht. Aber vielleicht will der Aufgabensteller negative Argumente einfach nicht betrachten - ist ja keine Pflicht: Bei vielen praktischen DGL betrachtet man schließlich auch das ganze mit Startzeitpunkt $\begin{eqnarray} t=0 \end{eqnarray}$ und interessiert sich nur für das Verhalten danach (also $\begin{eqnarray} t>0 \end{eqnarray}$ ) und nicht das davor. P.S.: Es gibt sogar EINE Lösung der Original-DGL, die auf ganz $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ gültig ist, inklusive $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ .
12.06.2023, 13:32	neuerStudent	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann habe ichs verstanden, danke
12.06.2023, 13:45	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Differentialgleichung ist lokal. Wenn man bereits auf $\begin{eqnarray} x \neq 0 \end{eqnarray}$ einschränkt, dann spaltet man das Originalintervall $\begin{eqnarray} (-\infty, \infty) \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} (-\infty, 0) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (0, \infty) \end{eqnarray}$ . Alle Lösungen $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} (-\infty, 0) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} (0, \infty) \end{eqnarray}$ kann man zu einer Lösung zusammenkleben auf $\begin{eqnarray} (-\infty, \infty) \setminus \{ 0\} \end{eqnarray}$ . Von da aus ist es ohne Beschränkung der Allgemeinheit möglich nur die positiven oder negativen Zahlen als Definitionsbereich zu betrachten.

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