Tensorprodukt, primitiv

12.06.2023, 20:39	Weduschij	Auf diesen Beitrag antworten »
Tensorprodukt, primitiv Meine Frage: //Sei * das Tensorprodukt zeichen.// Seien V, W zwei K-Vektorräume und (V * W, t ) ihr Skalarprodukt. Ein Element u aus V * W heißt primitiv, falls v aus V, w aus W mit t (v, w) = u existieren. Seien weiterhin v, v' aus V und w, w' aus W. Zeigen Sie die folgende Äquivalenz: ¨ vw +v`w`aus VW ist primitiv <=> v, v` oder w, w`sind linear abhängig Meine Ideen:* Verstehe Tensorprodukte nicht ganz. Sie sind eine Billinearform, aber irgendwie ja noch "besonderer", deswegen würde ich gerne an dieser Aufgabe sehen wie man mit Tensoren umgeht und rechnet. Mein Ansatz t(v``,w``)= t(v,w) +t(v',w') , aber wie ich die v und w vektoren zusammenbekomme ist mir fraglich. Danke für jede Hilfe !
13.06.2023, 07:47	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Tensorprodukt ist auf Wikipedia ganz gut erklärt. Ein Tensorprodukt ist mit Sicherheit keine Bilinearform, also musst du dir zunächst eine gute Definition zu eigen machen.
13.06.2023, 09:53	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Tensorprodukt zweier Vektorräume ist ein Vektorraum zusammen mit einer bilinearen Abbildung, hier $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ (sozusagen der Mutter aller bilinearen Abbildungen ) Das Tensorprodukt zweier Vektoren ist eine bilineare Abbildung. Man setzt $\begin{eqnarray} v\otimes w := t(v,w) \end{eqnarray}$ Eine Einführung findet man in Kap 9.1.3 hier, wer lieber youtube-Videos mag, wird hier fündig. Für die eine Richtung kann man ohne Einschränkung $\begin{eqnarray} v'=\lambda v \end{eqnarray}$ annehmen. Das in $\begin{eqnarray} v\otimes w + v'\otimes w' \end{eqnarray}$ eingesetzt und die Rechenregeln angewandt zeigt die Behauptung.
13.06.2023, 10:00	Weduschij	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke euch beiden, lese mir den Wikipediaeintrag und das Skript dann mal durch. Anschließend noch das Video und dann sollte was sinnvolles rauskommen!
13.06.2023, 10:31	Weduschij	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht entgeht mir das auch komplett, aber ich finde leider kaum was zu diesen Rechenregeln. Wie kann ich zum beispiel t(v,w) +t(v`,w`) umschreiben. Elvis meinte, dass das Tensorprodukt keine Bilinearform ist- Sofern ich das verstanden habe, ist Das Tensorprodukt ein Vektorraum über alle möglichen multilinearen Abbildungen VW->K zusammen mit einer billinearen Abbildung VW->T. Das Tensorprodukt zweier Vektoren ist Billinear, also könnte ich dort in jeder Komponente die Linearität ausnutzen, richtig?
13.06.2023, 12:19	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Skript stehen Rechenregeln auf Seite 226. $\begin{eqnarray} v\otimes w + v'\otimes w' = v\otimes w + (\lambda v)\otimes w' = v\otimes w + v\otimes (\lambda w') = v\otimes (w + \lambda )w' \end{eqnarray}$
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13.06.2023, 12:31	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Form ist eine Abbildung eines Raumes in einen Körper. Zum Beispiel ist für zwei K-Vektorräume V und W eine Bilinearform eine Abbildung $\begin{eqnarray} f:V\times W\to K, (v,w)\mapsto f(v,w) \end{eqnarray}$ , die in beiden Argumenten linear ist. Ein Tensorprodukt ist eine bilineare Abbildung $\begin{eqnarray} \otimes: V\times W\to T=:V\otimes W,(v,w)\mapsto v\otimes w \end{eqnarray}$ in einen K-Vektorraum T mit ein paar nützlichen weiteren Regeln. Nachtrag : Man muss nicht alles glauben, was da auf Seite 226 steht. $\begin{eqnarray} w+\lambda \end{eqnarray}$ gibt es nicht.

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