Doppelpost! Integral auf zwei verschiedene Weisen lösen

12.06.2023, 22:28

Conductor

Integral auf zwei verschiedene Weisen lösen

Meine Frage:
Ich muss das Integral $\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{\pi/2} \int_{0}^{x+1} \! \sin(x) \, dx dy \end{eqnarray*}$ auf zwei verschiedene Weisen lösen.

Meine Ideen:
Ich weiß dass man den Satz von Fubini nutzen kann und ich weiß dass das Ergebnis vom Integral 1+sin 1 sein soll. Jedoch krieg ich das nur auf eine Weise hin. Über Hilfe würde ich mich freuen.

12.06.2023, 23:42

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Integral ergibt keinen Sinn. Bei der Integrationsreihenfolge $\begin{align*} \dd x ~ \dd y \end{align*}$ kann das innere Integral höchstens von $\begin{align*} y \end{align*}$ abhängen. Vielleicht soll die obere Grenze $\begin{align*} y+1 \end{align*}$ statt $\begin{align*} x+1 \end{align*}$ heißen. Oder die korrekte Integrationsreihenfolge ist $\begin{align*} \dd y ~ \dd x \end{align*}$ .

13.06.2023, 06:06

Conductor

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja die Integrationsfolge ist dydx.

13.06.2023, 06:15

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Integrationsbereich

$\begin{align*} B = \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \, \left| \ \ 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} \, , \ 0 \leq y \leq x+1 \right. \right\} \end{align*}$

ist ein rechtwinkliges Dreieck. Das solltest du dir zunächst klarmachen. Wo liegen die Ecken des Dreiecks?

In der vorgegebenen Integrationsreihenfolge wird das Dreieck in Parallelschnitte senkrecht zur $\begin{align*} x \end{align*}$ -Achse zerlegt. In der anderen Reihenfolge ist das Dreieck in Parallelschnitte senkrecht zur $\begin{align*} y \end{align*}$ -Achse zu zerlegen.

13.06.2023, 09:30

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold (Schreibfehler korrigiert)

$\begin{align*} B = \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \, \left| \ \ {\color{red}-1} \leq x \leq \frac{\pi}{2} \, , \ 0 \leq y \leq x+1 \right. \right\} \end{align*}$

13.06.2023, 15:31

Luftikus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Conductor
Ja die Integrationsfolge ist dydx.

Deswegen präferiere ich eine Schreibeweise wie..

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{\pi/2} dx \int_{0}^{x+1} dy \, \sin(x) \end{eqnarray*}$

13.06.2023, 15:51

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Hat andere Nachteile: Diese Schreibweise liefert keine Information, wie weit nach rechts in der Formel sich der Gültigkeitsbereich der Integrationsvariablen erstreckt. unglücklich

Das kann/muss man dort dann wohl mit zusätzlichen Klammern um den Integralausdruck erzwingen.

Der Fragesteller hat aber anscheinend eh keine Lust mehr, es mit Leopolds Tipp zu versuchen:

https://www.onlinemathe.de/forum/Integra...eisen-berechnen

13.06.2023, 16:08

Luftikus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000
Hat andere Nachteile: Diese Schreibweise liefert keine Information, wie weit nach rechts in der Formel sich der Gültigkeitsbereich der Integrationsvariablen erstreckt. unglücklich

Das sehe ich noch nicht.
Kannst du dafür mal ein Beispiel geben?

13.06.2023, 16:10

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich tippe mal es ist gemeint.
$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{\pi/2} dx \int_{0}^{x+1} dy \, 1+1 \end{eqnarray*}$
vs.
$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{\pi/2} \int_{0}^{x+1} \! 1+1 \, dy dx \end{eqnarray*}$

In der Hoffnung das tritt nicht eine alte Diskussion los, ob $\begin{eqnarray*} dy dx \end{eqnarray*}$ symbolisch/formal agieren oder multiplikativ mit dem Integranden interagieren.

13.06.2023, 16:19

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Differentiale interagieren formal multiplikativ. smile

13.06.2023, 16:24

Luftikus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von IfindU
Ich tippe mal es ist gemeint.
$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{\pi/2} dx \int_{0}^{x+1} dy \, 1+1 \end{eqnarray*}$
vs.
$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{\pi/2} \int_{0}^{x+1} \! 1+1 \, dy dx \end{eqnarray*}$

In der Hoffnung das tritt nicht eine alte Diskussion los, ob $\begin{eqnarray*} dy dx \end{eqnarray*}$ symbolisch/formal agieren oder multiplikativ mit dem Integranden interagieren.

Ich weiss gar nicht, ob ich diese Notation richtig verstehe.. wie ist hier die Notationsregel?

Allgemein:
$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{\pi/2} \int_{0}^{x+1} f(x,y)\, dy dx = \int_{-1}^{\pi/2} \, dx \int_{0}^{x+1}dy \, f(x,y)<br /> \end{eqnarray*}$

13.06.2023, 19:12

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Luftikus

Ich weiss gar nicht, ob ich diese Notation richtig verstehe.. wie ist hier die Notationsregel?

Allgemein:
$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{\pi/2} \int_{0}^{x+1} f(x,y)\, dy dx = \int_{-1}^{\pi/2} \, dx \int_{0}^{x+1}dy \, f(x,y)<br /> \end{eqnarray*}$

Du hast doch mit der Notation angefangen Augenzwinkern

Ich wollte nur ein Beispiel dafür geben, wo man potentiell Klammern in deiner Schreibweise braucht: Bei Summen ist nicht a priori klar, auf welche Summaden sich das Integral bezieht. Und egal auf welche Konvention man sich einigt, man wird Klammern brauchen, um die andere Interpretation darzustellen.

Damit meine ich: Wenn sich das Integral nur auf den ersten Summanden bezieht, dann ist
$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{\pi/2} dx \int_{0}^{x+1} dy \, 1+1 = \int_{-1}^{\pi/2} \int_{0}^{x+1} \! 1 \, dy dx +1 \end{eqnarray*}$
und man braucht nun Klammern für den Fall
$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{\pi/2} dx \int_{0}^{x+1} dy \, (1+1)= \int_{-1}^{\pi/2} \int_{0}^{x+1} \! 1+1 \, dy dx \end{eqnarray*}$
Bei den rechten Darstellungen benötigt man keine Klammern, um beide Integrale auseinanderzuhalten.

14.06.2023, 07:27

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab auch an Terme gedacht, wo mehrere getrennte Integrale mit dem selben Symbol der Integrationsvariablen gekennzeichnet werden, z.B. in der CSU

$\begin{eqnarray*} \left(\int\limits_a^b f(x)g(x) ~ \dd x\right)^2 \leq \int\limits_a^b (f(x))^2 ~ \dd x ~\cdot~ \int\limits_a^b (g(x))^2 ~ \dd x \end{eqnarray*}$ .

In der Luftikus-Variante sieht das ohne Wechsel einer der beiden Integrationsvariablen rechts doch etwas seltsam aus:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_a^b \dd x ~ (f(x))^2 ~\cdot~ \int\limits_a^b \dd x ~ (g(x))^2 \end{eqnarray*}$

Oder gibt es dann die "Zusatzregel", dass der Gültigkeitsbereich des ersten $\begin{eqnarray*} \dd x \end{eqnarray*}$ beim Auftauchen eines erneuten $\begin{eqnarray*} \dd x \end{eqnarray*}$ sofort endet? Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

Doppelpost! Integral auf zwei verschiedene Weisen lösen

Verwandte Themen