Penney Ante Game/Wahrscheinlichkeit

15.06.2023, 18:43

thoeriePenneygame1

Penney Ante Game/Wahrscheinlichkeit

Meine Frage:
Penney Ante Spiel:

Das Penney Ante Spiel, zeigt unter anderem mit welcher Wahrscheinlichkeit eine Sequenz von zusammengestellten Münzwurfformen, wahrscheinlicher, als erstes auftreten wird, (oder ersichtlich wird) in einer Reihe von fairen Münzwürfen, vor einer zweiten Sequenz.

Angenommen wir möchten herausfinden, ob wir zuerst das Münzwurfmuster THH oder TTT sehen werden, wenn wir eine faire Münze solange werfen bis eines der beiden Muster erscheint oder sich eben zum ersten mal bildet in den Ablauf.
Info:
T= Tail
H= Head

Komischerweise sagt das Penney Ante Spiel nun, dass man mit der Wahrscheinlichkeit von 3/5 zuerst das Muster THH sehen oder entdecken wird und nur mit 2/5 Wahrscheinlichkeit zuerst das Muster TTT zuerst sehen oder entdecken wird.

Also wenn eine faire Münze solange geworfen wird bis eines der beiden gesuchten Muster aufscheint, und das Spiel dann nach dem aufscheinen wieder ganz von vorne beginnt oder wieder von vorne geworfen wird, wird man THH öfter das Spiel "beenden" sehen als TTT.

Kann mir jemand eventuell erklären wieso das so ist? Oder Verlinkungen dazu senden mit Erklärungen, denn ich komm nicht dahinter wieso das passiert.

Beispiel:
Wenn die Münze geworfen wird bis das erste T fällt sollte doch HH oder TT (die Formen die das Muster schließen, gleichwahrscheinlich sein) genauso wenn auf das erste T ein HT folgt, sollte doch anschließend THT HH und TT wieder gleichwahrscheinlich sein? Genauso wenn nach dem ersten T ein T fällt sollte doch danach T oder H gleichwahrscheinlich sein aufgrund der unabhängikeiten im fairen Münzwurf. Wie kann dann eine vorteilhafte Wahrscheinlichkeit entstehen? Ich verstehe das leider nicht

Meine Ideen:
Mein Ansatz ist Sprachlosigkeit teilweise.

Ich wäre jedem dankbar der mir das erklären kann und eventuell Links die das erklären (Theoretisch) schreiben könnte

15.06.2023, 19:47

HAL 9000

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War auch hier im Board schon einige Male Thema. Man kann das ganze durch eine geeignete Markovkette modellieren, 6 Zuständen dürften reichen:

1: TT
2: TH
3: HT
4: HH
5: Sieg Spieler 1 (THH)
6: Sieg Spieler 2 (TTT)

Startverteilung (nach zwei Münzwürfen): $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4},0,0\right) \end{eqnarray*}$

- Die Zustände 5 und 6 sind absorbierend, d.h. einmal dort angekommen bleibt man auch dort.

- Außerdem gibt es folgende Einschritt-Übergänge mit jeweils Ü-Wkt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} 1\to 2, 1\to 6, 2\to 3, 2\to 5, 3\to 1, 3\to 2, 4\to 3, 4\to 4 \end{eqnarray*}$

- Weiter Einschritt-Übergänge gibt es nicht.

Damit ist die Markovkette vollständig modelliert und man kann berechnen, welche stationäre Verteilung sich ergibt: Die ist auf 5 und 6 konzentriert.

Diese ist hier (nach einiger Rechnung) $\begin{eqnarray*} \left(0,0,0,0,\frac{3}{5},\frac{2}{5}\right) \end{eqnarray*}$ , also 60% auf THH und 40% auf TTT.

https://de.wikipedia.org/wiki/Absorbiere...cheinlichkeiten

D.h., die Lösung der Gleichungssystem $\begin{eqnarray*} \left(P-E\right)\cdot x = 0 \end{eqnarray*}$ mit festgelegten Komponenten $\begin{eqnarray*} x_5=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_6=0 \end{eqnarray*}$ ergibt die Wahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ , in Zustand $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ startend in Absorptionszustand 5 zu enden. Dabei ist $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ die Ü-Matrix der Markovkette.

Genauso ergibt die Lösung der Gleichungssystem $\begin{eqnarray*} \left(P-E\right)\cdot x = 0 \end{eqnarray*}$ mit festgelegten $\begin{eqnarray*} x_5=0,x_6=1 \end{eqnarray*}$ die Wahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ , in Zustand $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ startend in Absorptionszustand 6 zu enden.

Angesichts unserer Startverteilung $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4},0,0\right) \end{eqnarray*}$ gibt dann in beiden Fällen $\begin{eqnarray*} \frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4} \end{eqnarray*}$ die Gesamtwahrscheinlichkeit an, in dem jeweiligen Absorptionszustand zu enden.

=====================================================

Ein qualitativer Erklärungsversuch: Wir können für beide Sequenzen TTT und THH einfach die Wahrscheinlichkeit angeben, dass an einer bestimmten Stelle $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ (gemeint sind damit natürlich eigentlich die Stellen $\begin{eqnarray*} k,k+1,k+2 \end{eqnarray*}$ ) der Münzkette diese Sequenz auftaucht. Die ist schlicht und einfach $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^3}=\frac{1}{8} \end{eqnarray*}$ für jede Sequenz und auch jede Stelle $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ .

Damit hat man bei einer sehr langen Münzwurfkette im Mittel an jeder achten Position diese Sequenz. Aber was passiert, wenn man eng beieinander liegende Positionen betrachtet:

- Hat man an Position $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ die Sequenz TTT (Bedingung), so kann man mit bedingter Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ auch an Position $\begin{eqnarray*} k+1 \end{eqnarray*}$ diese Sequenz feststellen - es bedarf dazu nur eines weiteren T direkt anschließend an das bisherige TTT. Mit bedingter Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ hat man überdies auch noch an der nächsten Stelle $\begin{eqnarray*} k+2 \end{eqnarray*}$ dann auch noch ein weiteres TTT.

- Hat man hingegen an Position $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ die Sequenz THH (Bedingung), so sind weitere THH an den Positionen $\begin{eqnarray*} k+1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k+2 \end{eqnarray*}$ offensichtlich schlicht unmöglich, also Wahrscheinlichkeit 0.

Daher sollte folgendes einleuchtend sein: Die diversen Auftreten von TTT kommen eher "geklumpt" vor, während die von THH immer nur mit Mindestabstand 3 auftreten. Da aber BEIDE auf lange Sicht gleich häufig in der Sequenz auftauchen, bedeutet das für TTT im Mittel längere "Durststrecken" als bei THH - unter anderem auch am Anfang: Das können wir hier sogar noch etwas näher beleuchten:

a) Nach zwei Schritten hat man noch keine der beiden Sequenzen beobachtet - klar.

b) Nach drei Schritten (mit 8 möglichen Sequenzen) hat man je genau einmal TTT sowie THH. Die 6 verbleibenden Markovkettenzustände sind HT,HT,TT,TH,HT,HH, also je zweimal TH und HT aber nur je einmal TT und HH.

c) Von den 12 gleichwahrscheinlichen Ausgängen im nächsten Schritt (die bereits in b) erreichten absorbierenden Zustände TTT und THH klammere ich mal aus, wir sind ja nur am Erst-Auftreten interessiert!!!) bekommen wir nun zweimal THH, aber nur einmal TTT - da hat Zustand THH also schon mal die Nase vorn!

Und das ändert sich auch bis zum Ende nicht mehr, so sind die 60% für THH und nur 40% für TTT vielleicht auch plausibel.

EDIT (19.6.23): Ok, das Interesse hielt sich dann doch in Grenzen. Nun, das Thema poppt ja doch immer wieder auf, da kann ich dann immer noch auf meine Antwort hier verweisen.

20.06.2023, 01:15

mathenoob7654

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danke für deine ausführliche Antwort, ich hatte keinen Account und musste daher zuerst einen erstellen, das hab ich gemacht da ich die antwort so ausführlich und interessant fand. ich versuche das Prinzip der Markovketten selber zu lernen und bin über das Penney Ante Spiel gestolpert und finde es echt unglaublich interessant. Ich studiere eigentlich WiSo aber irgendwie habe ich spass an diesem Thema gefunden. Was mich nur stutzig macht ist folgendes und vielleicht kannst du mir ja da noch weiter eine Antwort dazu geben. Und zwar, wie sind diese Häufigkeiten THH und TTT ab dem ersten ersichtlichen T in der Münzwurfreihe verteilt, denn was ich nicht versteh ist das, wenn dieser Vorteil von THH zu TTT ja gegeben ist (3/5 und 2/5) bedeutet das auch das ab dem ersten ersichtlichen T, anschließend das Muster HH häufiger vorkommen muss/soll als das Muster TT nach dem ersten T. Und das macht mich bisschen stutzig, denn generell müsste es doch unabhängig sein, aber andererseits muss sich dieser Vorteil von THH zu TTT oder vielleicht sogar gesagt HH zu TT ab dem ersten oder weiteren Ts, sichtbar machen. Mich würde brennend noch interessieren an welchen Stellen sich dieser Vorteil doch bemerkbar machen muss ab dem ersten T.

Wenn eine faire Münzwurfreihe das erste T ersichtlich macht, muss anschließend ja HH wahrscheinlicher sein laut der Häufigkeit wie oft welches der beiden Muster zuerst das Spiel beendet. D.h doch? Es muss ab dem ersten und inklusive dem ersten T HH eher auftreten eben als T TT? Aber ab welchem T? Denn nach THT gilt doch wiederum das selbe ausgangsprinzip? Was mir nicht logisch erscheint ist wo sich dieser Vorteil den bemerkbar oder ersichtlich macht?

MÖGLICHKEITEN (meines Ansatzes nach)
T HH ? T TT?
TT HH ? TT T?
THT HH? THT TT?
THTT HH ? THTT T ?
usw usw ?

hast du eventuell dazu auch eine Lösung? Würde mich unheimlich interessieren

wie sich dieser Vorteil in Häufigkeiten eig äußert in einem so "fairen Spiel" Augenzwinkern

: D
(Y)

20.06.2023, 08:45

HAL 9000

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Zitat:

Original von mathenoob7654
Wenn eine faire Münzwurfreihe das erste T ersichtlich macht, muss anschließend ja HH wahrscheinlicher sein laut der Häufigkeit wie oft welches der beiden Muster zuerst das Spiel beendet

Nein. Wie ich oben erläutert habe, treten THH und TTT statistisch gleich häufig auf auf längere Sicht - nur eben TTT eher "geklumpt" und THH vereinzelt. Wenn etwa TTTTT auftaucht, dann zählt das wie drei Auftreten von TTT, nämlich TTTTT, TTTTT und TTTTT. Um überhaupt drei Auftreten von THH beobachten zu können, benötigt man eine Teilkette der Mindestlänge 9.

Zitat:

Original von mathenoob7654
Es muss ab dem ersten und inklusive dem ersten T HH eher auftreten eben als T TT?

Nein, nicht notwendig direkt inklusive dem ersten T: Die Sequenz nach dem ersten T kann ja auch lauten THT oder TTHT, da ist noch nichts fest entschieden. Direkt nach und inklusive dem ersten T sind TTT und THH gleichwahrscheinlich.

Ich habe oben qualitativ plausibel gemacht, warum statistisch ein eheres Auftreten von THH gegenüber TTT zumindest nicht abwegig sein sollte. Für den Rest muss man dann einfach die Rechnung verstehen, statt ewig rumzuphilosophieren, warum das nicht auch falsch sein könnte - das bringt nichts. Und auf das lass ich mich auch nicht ein. Ich hätte es oben auch bei der Rechnung belassen können, Punkt, habe das aber nicht mal getan sondern dargelegt, dass schon beim Zeithorizont 4 Schritte THH wahrscheinlicher die Erstsequenz ist als TTT. Mich jetzt mit deinen Extra-Theorien (die ich in deiner Darstellung

Zitat:

Original von mathenoob7654
MÖGLICHKEITEN (meines Ansatzes nach)
T HH ? T TT?
TT HH ? TT T?
THT HH? THT TT?
THTT HH ? THTT T ?
usw usw ?

zudem nicht verstehe) zu befassen, dazu habe ich keine Lust. Ich würde dir eher empfehlen, dich mit solchen Markov-Ketten mit mehreren absorbierenden Zustände zu befassen, und wie man dort die Absorptionswahrscheinlichkeit ermittelt (den Link habe ich oben gegeben). Ich kann dir gern näheres noch zur Markov-Kette oben erläutern, falls dir das Zustandekommen der genannten Übergangswahrscheinlichkeiten nicht klar ist usw.

Zum besseren haptischen Verständnis kannst du auch Ü-Matrix $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ und vor allem deren erste Potenzen (am besten mit CAS oder Matlab o.ä,) anschauen um den Prozess zu sehen, wie sich die "Absorptionstöpfe" 5 und 6 nach und nach füllen, aber mit unterschiedlicher Geschwindigkeit.

Ich liste dazu mal auf den Aufenthaltswahrscheinlichkeitsvektor beim Start und nach den ersten zehn Zuständen der Kette (gerundet auf sechs Nachkommastellen, der sollte schon ganz aufschlussreich sein:

(0.250000, 0.250000, 0.250000, 0.250000, 0.000000, 0.000000)
(0.125000, 0.250000, 0.250000, 0.125000, 0.125000, 0.125000)
(0.125000, 0.187500, 0.187500, 0.062500, 0.250000, 0.187500)
(0.093750, 0.156250, 0.125000, 0.031250, 0.343750, 0.250000)
(0.062500, 0.109375, 0.093750, 0.015625, 0.421875, 0.296875)
(0.046875, 0.078125, 0.062500, 0.007812, 0.476562, 0.328125)
(0.031250, 0.054688, 0.042969, 0.003906, 0.515625, 0.351562)
(0.021484, 0.037109, 0.029297, 0.001953, 0.542969, 0.367188)
(0.014648, 0.025391, 0.019531, 0.000977, 0.561523, 0.377930)
(0.009766, 0.017090, 0.013184, 0.000488, 0.574219, 0.385254)
(0.006592, 0.011475, 0.008789, 0.000244, 0.582764, 0.390137)

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