Schur-Komplement bei multivariater Normalverteilung und Unabhängigkeit

15.06.2023, 21:19

Romaxx

Schur-Komplement bei multivariater Normalverteilung und Unabhängigkeit

Hallo zusammen,

seit $\begin{eqnarray*} K = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}\in\mathbb R^{p+q\times p+q}, \end{eqnarray*}$ die Kovarianzmatrix einer multivariaten Normalverteilung mit mit Mean $\begin{eqnarray*} \textbf{0} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A, B, C, D \end{eqnarray*}$ Blockmatrizen entsprechend der Dimension $\begin{eqnarray*} p\times p,q\times p, p\times q, q\times q \end{eqnarray*}$ .

Wende ich das Schurkomplement auf $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ an erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} K = \begin{pmatrix} I_p & 0 \\ CA^{-1} & I_q \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & D-CA^{-1}B \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I_p & A^{-1}B \\ 0 & I_q \end{pmatrix}=:E\Sigma F \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} E, \Sigma, F \end{eqnarray*}$ definiert entsprechend der Einzelnmatrizen.

Ich kann nun die Dichtefunktion wie folgt umschreiben:

$\begin{eqnarray*} f(\textbf{x}) &=& \frac{1}{(2\pi)^{p+q}\det{(K)}}\exp\left(-\frac{1}{2}\textbf{x}^T K^{-1}\textbf{x}\right) \\ &=& \frac{1}{(2\pi)^{p+q}\det{(\Sigma)}}\exp\left(-\frac{1}{2}\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_p \\ x_{p+1} \\ \vdots \\ x_{p+q} \end{pmatrix}^T\begin{pmatrix} I_p & -A^{-1}B \\ 0 & I_q \end{pmatrix} \Sigma^{-1}\begin{pmatrix} I_p & 0 \\ -CA^{-1} & I_q \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_p \\ x_{p+1}\\ \vdots \\ x_{p+q} \end{pmatrix}\right)\\ &=& \frac{1}{(2\pi)^{p+q}\det{(\Sigma)}}\exp\left(-\frac{1}{2}\left(\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_p \\ x_{p+1}\\ \vdots \\ x_{p+q}- \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \textbf{0}\\ B^TA^{-1}\begin{pmatrix} x_{1}\\ \vdots \\ x_{p} \end{pmatrix}\end{pmatrix}\right)^T \Sigma^{-1}\left(\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_p \\ x_{p+1}\\ \vdots \\ x_{p+q}- \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \textbf{0}\\CA^{-1}\begin{pmatrix} x_{1}\\ \vdots \\ x_{p} \end{pmatrix}\end{pmatrix}\right)\right)\\ &=& f\left(\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_p \\ \begin{pmatrix} x_{p+1}\\ \vdots \\ x_{p+q} \end{pmatrix}| \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_p \end{pmatrix}\end{pmatrix}\right) \end{eqnarray*}$

Die neue multivariate Normalverteilung der Variablen $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} X_1 \\ \vdots \\ X_p \\ \begin{pmatrix} X_{p+1}\\ \vdots \\ X_{p+q} \end{pmatrix}| \begin{pmatrix} X_1 \\ \vdots \\ X_p \end{pmatrix}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ hat die Kovarianzmatrix $\begin{eqnarray*} \Sigma \end{eqnarray*}$ .
Da die Kovarianzmatrix $\begin{eqnarray*} \Sigma \end{eqnarray*}$ Blockdiagonal ist, kann ich hieraus schließen, dass $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} X_1 \\ \vdots \\ X_p \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} X_{p+1}\\ \vdots \\ X_{p+q} \end{pmatrix}| \begin{pmatrix} X_1 \\ \vdots \\ X_p \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ unabhängig? Ist das grundsätzlich der Fall, dass diese Variablen unabhängig von der zugrundeliegenden Verteilung unabhängig sind?

Danke!

16.06.2023, 08:30

HAL 9000

Schur-Komplement bei multivariater Normalverteilung und Unabhängigkeit

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