Modulo-Rechnen in der elementaren Zahlentheorie

16.06.2023, 08:36	Samsara	Auf diesen Beitrag antworten »
Modulo-Rechnen in der elementaren Zahlentheorie Es geht um folgendes Korollar. Sei $\begin{eqnarray} a \in \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} m \in \mathbb{N}, m > 1 \end{eqnarray}$ . Es ist a $\begin{eqnarray} \equiv \end{eqnarray}$ a mod m(modm), und a mod m ist die einzige Zahl in {0,...m-1}, die kongruent zu a modulo m ist. Das einzige, was hier aber nicht gefragt ist, wäre bei a $\begin{eqnarray} \equiv \end{eqnarray}$ a(mod m) also die Reflexsivität, aber die ist hier nicht gefragt. Der Beweis, der mir leider auch nicht klar ist, lautet wie folgt: Für alle Zahlen x $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ {0,...,m-1} bleibt bei der Division durch m der Rest . Mit x = a mod m folgt, dass a kongruent zu a mod m modulo m ist. Kann mir hier jemand vielleicht mit einem konkreten Zahlenbeispiel weiterhelfen. Vielen Dank im Voraus.
16.06.2023, 13:04	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Modulo-Rechnen in der elementaren Zahlentheorie $\begin{eqnarray} a\bmod m \end{eqnarray}$ ist der Rest, der bei Division von $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ bleibt. Der ist nach Definition in der Menge $\begin{eqnarray} \{0,\ldots ,m-1 \} \end{eqnarray}$ . Dann ist aber $\begin{eqnarray} a- (a\bmod m) \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ teilbar. Und das heißt nichts anderes als $\begin{eqnarray} a \equiv (a\bmod m) \bmod m \end{eqnarray}$ Beispiel $\begin{eqnarray} a=12, m=5 \end{eqnarray}$ Dann ist $\begin{eqnarray} a\bmod m = 2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 12-2=10 \end{eqnarray}$ ist durch $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ teilbar.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »