Modulnhomomorphismen

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20.06.2023, 17:00	Weduschij	Auf diesen Beitrag antworten »
Modulnhomomorphismen Meine Frage: Sei K ein Körper, V ein Vektorraum und f aus End(V ) ein Endomorphismus. Wir betrachten den Polynomring K[X] zusammen mit der Multiplikation: m_f : K[X] * V -> V, (g(X), v) -> g(f)(v) a) Zeigen Sie, dass V zusammen mit der Multiplikation m_f ein K[X]-Modul ist. Sei ab nun V = Abb0(N, R) der Vektorraum der endlichen Folgen und L : V -> V, (a1, a2, . . .) -> (a2, a3, . . .) R : V -> V, (a1, a2, . . .) -> (0, a1, a2, . . .) der Links- bzw. Rechts-Shift und f := R2 der zweifache Rechts-Shift. b) Zeigen Sie, dass V zusammen mit den Multiplikationen mR und mf jeweils ein freier R[X]- Modul ist und geben Sie jeweils eine Basis an. c) Zeigen Sie, dass V zusammen mit der Multiplikation mL kein freier R[X]-Modul ist. Meine Ideen: Bei der a) habe ich die eigenschfaten eines moduls überprüft (i) 1 · m = m, (ii) (r + s) · m = r · m + s · m, r · (m + n) = r · m + r · nm (iii) (r · s) · m = r · (s · m). Hat auch relativ gut geklappt. Bei der b) und c) bin ich leider gescheitert irgendeinen sinnvollen Ansatz zu schaffen.
20.06.2023, 17:36	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Modulnhomomorphismen Bei c) würde ich vermuten, es liegt daran, dass der Linksshift jede endliche Folge auf die Nullfolge abbildet, wenn man ihn nur oft genug auf diese endliche Folge anwendet.
20.06.2023, 17:39	Weduschij	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Modulnhomomorphismen Hab ich mir auch gedacht, aber warum ist es dann das Modul nicht mehr frei?
20.06.2023, 17:48	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Modulnhomomorphismen Die lineare Unabhängigkeit geht kaputt.
20.06.2023, 18:00	Weduschij	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Modulnhomomorphismen Okay. Also wie würde jetzt eine Lösungsskizze aussehen? Verstehe es noch nicht so ganz.
20.06.2023, 18:10	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Modulnhomomorphismen Nehmen wir mal eine endliche Menge $\begin{eqnarray} x^{(1)}, \ldots ,x^{(r)} \end{eqnarray}$ von endlichen Folgen. Dann gibt es eine natürliche Zahl $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} x^{(i)}_k=0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} i\in\{1,\ldots ,r\}\ \end{eqnarray}$ und alle $\begin{eqnarray} k\geq N \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} L^N(x^{(i)})=0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ Kannst du das jetzt mit mL in Verbindung bringen?
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20.06.2023, 18:17	Weduschij	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Modulnhomomorphismen Naja wenn wir mL n mal auf eine beliebige folge anwenden, erhalten wir die Nullfolge.
20.06.2023, 18:23	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Modulnhomomorphismen das ist falsch, nicht jede beliebige Folge ist nach n-maligem Linksshift die Nullfolge Für das Polynom $\begin{eqnarray} g\in \mathbb K [X] \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} g(X)=X^N \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} g\ mL\ v=g(L)(v)=L^N v \end{eqnarray}$ Dämmert es jetzt?
20.06.2023, 18:27	Weduschij	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Modulnhomomorphismen Hab es mit dem rechtschift verwechselt, mein Fehler.
20.06.2023, 18:33	Weduschij	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Modulnhomomorphismen Oh gott. habe jetzt erst verstanden was mL und mR ist. das ist ja die Abbildung von Ag a) nur statt f steht da dieses Mal L/R. Jetzt wirds um einiges ersichtlicher
20.06.2023, 18:42	Weduschij	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Modulnhomomorphismen ich verstehe dass wir zeigen wollen, dass am ende eine Linearkombination =0 ist, stehe aber auf dem schlauch
20.06.2023, 19:00	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Modulnhomomorphismen Setze $\begin{eqnarray} g_i=g \end{eqnarray}$ für i=1,...,r und berechne $\begin{eqnarray} \sum g_i \ mL\ x^{(i)} \end{eqnarray}$

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