Beweis: affiner Unterraum ist affiner Raum

21.06.2023, 15:42	Felice 123	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: affiner Unterraum ist affiner Raum Meine Frage: Wie beweise ich, dass ein affiner Unterraum L = v + L_0 (mit v \in V und V Vektorraum) ist? Also das Tupel aus Menge, Vektorraum und einfach transitiver Gruppenoperation? Meine Ideen: Vektorraum V ist klar, die Gruppenoperation als Addition ebenso. Doch was wäre hier meine Menge?
22.06.2023, 19:50	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Vektorraum darf meines Erachtens nicht $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ sein, weil das Ergebnis der Gruppenoperation in $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ liegen soll. Meine Lesung: Es sei $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ein Vektorraum, $\begin{eqnarray} L_0 \end{eqnarray}$ ein Untervektorraum von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v\in V. \end{eqnarray}$ Die Menge ist $\begin{eqnarray} L = v+L_0 = \{v+w\mid w\in L_0\}\subseteq V \end{eqnarray}$ selbst, der Vektorraum ist $\begin{eqnarray} L_0 \end{eqnarray}$ und die Gruppenoperation ist $\begin{eqnarray} f\colon L\times L_0\to L,\quad f(p,w) := p+w. \end{eqnarray}$ Der Nachweis der Axiome in Affine space sollte trivial sein, weil $\begin{eqnarray} (V,+) \end{eqnarray}$ eine Gruppe ist. Anschauliches Beispiel: $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ der zweidimensionale euklidische Vektorraum bzw. die euklidische Ebene mit einem ausgezeichneten Punkt als Ursprung. $\begin{eqnarray} L_0 \end{eqnarray}$ eine Gerade durch den Ursprung. $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ die zu $\begin{eqnarray} L_0 \end{eqnarray}$ parallele Gerade auf die $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ zeigt.

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