Eigenschaft positiv definiter Matrix

21.06.2023, 15:19

Bobby Fischer

Eigenschaft positiv definiter Matrix

Meine Frage:
Man soll zeigen oder widerlegen, dass für eine reelle, positiv definite symmetrische matrix gilt: $\begin{eqnarray*} a_{ii}\cdot a_{jj}> a_{ij}^2 \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Bei vorheriger Teilaufgabe war zu zeigen, dass alle Hauptdiagonalelemente einer p.d. Matrix positiv sind. Dafür hab ich einen Beweis, falls diese Aussage weiterhilft.

21.06.2023, 18:06

IfindU

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RE: Eigenschaft positiv definiter Matrix
Ich musste ein wenig rechnen. Die Idee ist analog zu der vorigen Aufgabe. Die vorige Aufgabe reichte es ja $\begin{eqnarray*} x = e_i \end{eqnarray*}$ in der Definition von Positivdefinitheit zu nehmen.

Ich kam mit $\begin{eqnarray*} x = \frac { a_{jj} } { a_{ii} } e_i \pm \frac { a_{ii} } { a_{jj} } e_j \end{eqnarray*}$ auf das Ergebnis. Zu meinem Ansatz: Ich bin mit $\begin{eqnarray*} x =\lambda e_i + \mu e_j \end{eqnarray*}$ gestartet und hat dann $\begin{eqnarray*} \lambda, \mu \end{eqnarray*}$ optimiert zu den Werten oben.

21.06.2023, 20:10

Bobby Fischer

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Ok, das muss ja eine ordentliche Tortur gewesen sein das auszurechnen. Ich hatte noch einmal folgendes probiert: Wäre es möglich die Hauptdiagonalelemente auf die Position 1 und 2 in der hauptdiagonale zu bringen würde wegen der positiven Definitheit sofort mit der 2x2 Untermatrix sofort das gewünschte folgen. Das wäre weniger rechenintensiv, jedoch müsste man ja ein paar Elemente umsortieren und ich weiß nicht ob das an der positiven Definitheit der Matrix etwas ändern würde. Würde diese Idee zu einem korrektem Beweis führen oder ist das Wunschdenken?

22.06.2023, 05:34

HAL 9000

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Zitat:

Original von IfindU
Ich kam mit $\begin{eqnarray*} x = \frac { a_{jj} } { a_{ii} } e_i \pm \frac { a_{ii} } { a_{jj} } e_j \end{eqnarray*}$ auf das Ergebnis.

Ich sehe das eher bei $\begin{eqnarray*} x = a_{ij} e_i - a_{ii} e_j \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x = a_{jj} e_i - a_{ij} e_j \end{eqnarray*}$ verwirrt

22.06.2023, 08:46

IfindU

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Zitat:

Original von Bobby Fischer
Ok, das muss ja eine ordentliche Tortur gewesen sein das auszurechnen. Ich hatte noch einmal folgendes probiert: Wäre es möglich die Hauptdiagonalelemente auf die Position 1 und 2 in der hauptdiagonale zu bringen würde wegen der positiven Definitheit sofort mit der 2x2 Untermatrix sofort das gewünschte folgen. Das wäre weniger rechenintensiv, jedoch müsste man ja ein paar Elemente umsortieren und ich weiß nicht ob das an der positiven Definitheit der Matrix etwas ändern würde. Würde diese Idee zu einem korrektem Beweis führen oder ist das Wunschdenken?

Ich mag die Idee. Ich weiß bloss nicht ob es nicht am Ende genauso schwer zu zeigen ist. Du müsstest (soweit ichs sehe) zeigen, dass deine umsortierte Matrix wieder positiv-definit ist. Dafür musst du geschickt $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ wählen, damit du Beziehungen zwischen beiden Matrizen herstellst und du die positive Definitheit der Matrix zeigst. Was effektiv das gleiche ist was wir hier machen (geschickte Kombination von Basisvektoren als $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nehmen).

@HAL: Ich lege jedenfalls nicht meine Hand ins Feuer, dass ich keinen Fehler bei der Berechnung gemacht habe Augenzwinkern

Edit: Ich habe $\begin{eqnarray*} (x^T_+Ax_+) (x^T_-Ax_-)>0 \end{eqnarray*}$ genutzt und vereinfacht. Ich dachte mit Produkten kriege ich am ehesten Quadrate rein und habe erst später bei der Wahl von $\begin{eqnarray*} \lambda,\mu \end{eqnarray*}$ gesehen dass wir die Koeffizienten in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ wählen müssen und so "natürlich" Quadrate reinkommen.

Edit: (Verspäteter) Nachtrag: Ich hab definiert: $\begin{eqnarray*} x_{\pm} = \frac { a_{jj} } { a_{ii} } e_i \pm \frac { a_{ii} } { a_{jj} } e_j \end{eqnarray*}$

22.06.2023, 10:30

HAL 9000

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Mit $\begin{eqnarray*} (x^T_+Ax_+) (x^T_-Ax_-)>0 \end{eqnarray*}$ weiß ich nichts anzufangen. Für mich bedeutet die positive Definitheit der reellen symmetrischen Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , dass man $\begin{eqnarray*} x^TAx>0 \end{eqnarray*}$ für ein geeignet gewähltes $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ nutzt. Und für eben jenes $\begin{eqnarray*} x = a_{jj} e_i - a_{ij} e_j \end{eqnarray*}$ bekommt man

$\begin{eqnarray*} 0 < x^TAx = a_{jj}^2 a_{ii} - 2a_{jj}a_{ij} a_{ij} + a_{ij}^2 a_{jj} = \left( a_{ii} a_{jj} - a_{ij}^2 \right) a_{jj} \end{eqnarray*}$ ,

was wegen $\begin{eqnarray*} a_{jj}>0 \end{eqnarray*}$ der Behauptung entspricht.

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