Differentialgleichung Angebots. und Nachfragefunktion

22.06.2023, 10:41

bubu000

Differentialgleichung Angebots. und Nachfragefunktion

Hallöchen zusammen,
und wieder mal benötige ich eure Hilfe. Es geht um folgende Fragestellung:

Es ist die Angebotsfunktion S mit S(P)=P-20 und die Nachfragefunktion D mit D(P)=100-2P gegeben. Der Preis P wird als Funktion der Zeit betrachtet, d.h. P=P(t). Außerhalb des Gleichgewichts sei die Änderung des Preises proportional zum Nachfrageüberhang, d.h. P'=a*(D-S) für eine Zahl a>0.

a) Berechnen sie zum Anfangswert $\begin{eqnarray*} P(0)=P_{0} \end{eqnarray*}$ >0 die Funktion P(t) sowie $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{t \rightarrow \infty}{P(t)} \end{eqnarray*}$ .

Im Anhang findet ihr meine Lösung, ich habe einfach die inhomogene DGL gelöst, aber ich habe das Gefühl, dass meine Lösung nicht stimmen kann.

Vielen Dank schon mal für eure Hilfe.

22.06.2023, 11:24

HAL 9000

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Alles gar nicht so verkehrt, was du da anstellst (auch wenn es mit Trennung der Variablen deutlich schneller gegangen wäre), nur anscheinend weißt du nicht, dass du am Ende die allgemeine Lösung aus der homogenen Lösung plus der einen speziellen inhomogenen Lösung zusammenbasteln musst. Sprich: Es ist

$\begin{eqnarray*} P(t) = c\cdot e^{-3\alpha t} + 40 \end{eqnarray*}$ ,

und $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ist so zu wählen, dass die Anfangsbedingung $\begin{eqnarray*} P(0)=P_0 \end{eqnarray*}$ für das gegebene $\begin{eqnarray*} P_0 \end{eqnarray*}$ erfüllt ist.

21.07.2023, 15:46

bubu000

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Gerade gemerkt, dass ich mich garnicht bedankt habe für deine Antwort. Vielen lieben Dank, das hätte ich tatsächlich wissen müssen, vor lauter Überforderung habe ich das einfachste vergessen XD

21.07.2023, 16:27

bubu000

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Jetzt fällt mir doch noch was ein, du meintest mit Trennung der Variablen wäre es schneller gegangen. Ich dachte ich hätte genau das gemacht. Ist das nicht das dt auf die eine Seite und dP auf die andere Seite bringen?

21.07.2023, 17:36

HAL 9000

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Zitat:

Original von bubu000
Ich dachte ich hätte genau das gemacht.

Du hast erst die homogene Gleichung gelöst, und dann mittels Variation der Konstanten eine Lösung der inhomogenen Gleichung - schön, das ist die übliche Lösungstheorie für lineare DGL.

Ich meinte es aber so, direkt die inhomogene DGL $\begin{eqnarray*} P' = \alpha\cdot (120-3P) \end{eqnarray*}$ per Trennung der Variablen zu lösen, d.h., ohne den langen Umweg über die homogene Gleichung:

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd P}{P-40} = -3\alpha ~ \dd t \end{eqnarray*}$ , nun Integration

$\begin{eqnarray*} \ln\left|P-40\right| = -3\alpha t + c_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P-40 = c\cdot e^{-\alpha t} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c= \pm e^{c_1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P = 40 + c\cdot e^{-\alpha t} \end{eqnarray*}$ .

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