Transformationsformel für affine Basen

23.06.2023, 13:20	fsfmciscokamc	Auf diesen Beitrag antworten »
Transformationsformel für affine Basen Meine Frage: Aufgabe ist es einen Transformationssatz für affine Basen aufzustellen. Grundkonstrukt wäre folgendes: $\begin{eqnarray} M_{B'}^{A'}(F) = T_{B'}^{B} \cdot M_{B}^{A}(F) \cdot (T_{A'}^{A})^{-1} \end{eqnarray}$ Wobei A,B,A',B' geordnete Basen von Vektorraum V wären. Mit M Darstellungsmatrix. Ziel wäre eine ähnliche Darstellungsmatrix für affine Transformationen zu finden. Meine Ideen: Sei B,p geordnete Basis von T(X) also dem Translationsraum der Menge X. $\begin{eqnarray} \Phi_{B,p} : X \rightarrow K^n \end{eqnarray}$ Und Phi sei Koordinatendarstellung. Dann $\begin{eqnarray} \Phi_{B,p} \rightarrow \Phi_{B',p'} \end{eqnarray}$ gegeben durch $\begin{eqnarray} T_{B}^{B'}(v) + v \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} v = \vv{pp'} \end{eqnarray}$
24.06.2023, 10:00	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde ohne Beschränkung der Allgemeinheit $\begin{eqnarray} X:=K^n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} T(X):=K^n \end{eqnarray}$ setzen. Dann darf man $\begin{eqnarray} v=Av_{\mathcal A} \end{eqnarray}$ mit Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ anstelle $\begin{eqnarray} v=\Phi_{\mathcal A}(v_{\mathcal A}) \end{eqnarray}$ für die Umrechnung mit dem Koordinatensystem $\begin{eqnarray} \Phi_{\mathcal A}\colon K^n\to T(X) \end{eqnarray}$ schreiben, das macht etwas weniger Schreibaufwand. Mein Vorschlag für die Nomenklatur: $\begin{eqnarray} \Phi_{\mathcal A,p_0}\colon K^n\to X,\quad p = \Phi_{\mathcal A,p_0}(v_{\mathcal A}) := p_0 + Av_{\mathcal A}, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Phi_{\mathcal A',p_0'}\colon K^n\to X,\quad p = \Phi_{\mathcal A',p_0'}(v_{\mathcal A'}) := p_0' + A'v_{\mathcal A'}, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Phi_{\mathcal B,q_0}\colon K^n\to Y,\quad q = \Phi_{\mathcal B,q_0}(w_{\mathcal B}) := q_0 + Bw_{\mathcal B}, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Phi_{\mathcal B',q_0'}\colon K^n\to Y,\quad q = \Phi_{\mathcal B',q_0'}(w_{\mathcal B'}) := q_0' + B'w_{\mathcal B'}. \end{eqnarray}$ Man erhält die Koordinatentransformation $\begin{eqnarray} \Phi_{\mathcal A,p_0}^{-1}\circ \Phi_{\mathcal A',p_0'} \end{eqnarray}$ in der Form $\begin{eqnarray} v_{\mathcal A} = v_0 + T_{\mathcal A}^{\mathcal A'}v_{\mathcal A'} := A^{-1}(p_0'-p_0) + A^{-1}A'v_{\mathcal A'}. \end{eqnarray}$ Man erhält die Koordinatentransformation $\begin{eqnarray} \Phi_{\mathcal B,q_0}^{-1}\circ \Phi_{\mathcal B',q_0'} \end{eqnarray}$ in der Form $\begin{eqnarray} w_{\mathcal B} = w_0 + T_{\mathcal B}^{\mathcal B'}w_{\mathcal B'} := B^{-1}(q_0'-q_0) + B^{-1}B'w_{\mathcal B'}. \end{eqnarray}$ Sei nun $\begin{eqnarray} F\colon X\to Y \end{eqnarray}$ eine affine Abbildung. Sie ist beschreibbar als $\begin{eqnarray} q = F(p) = q_F + L(p-p_F),\quad L\colon T(X)\to T(Y). \end{eqnarray}$ In Koordinaten ausgedrückt ist das die affine Abbildung $\begin{eqnarray} w_{\mathcal B} = B^{-1}(q_F-q_0) + B^{-1}L(p_0-p_F + Av_{\mathcal A}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = B^{-1}(q_F-q_0) + B^{-1}L(p_0-p_F) + B^{-1}LAv_{\mathcal A} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = w_s + M_{\mathcal B}^{\mathcal A}(L)v_{\mathcal A} \end{eqnarray}$ mit dem Vektor $\begin{eqnarray} w_s:= B^{-1}(q_F-q_0) + B^{-1}L(p_0-p_F). \end{eqnarray}$ Die Größen $\begin{eqnarray} w_s, M_{\mathcal B}^{\mathcal A}(L),v_0,w_0,T_{\mathcal A'}^{\mathcal A},T_{\mathcal B'}^{\mathcal B} \end{eqnarray}$ seien gegeben. Was ist gesucht? Wie geht es nun weiter?
26.06.2023, 16:12	ggc	Auf diesen Beitrag antworten »
Affine Abbildung Wie würde eine Abbildung aussehen $\begin{eqnarray} \phi _ {B,p}: X -> K^n \end{eqnarray}$ ?
26.06.2023, 16:31	fsfmciscokamc	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die ausführliche Antwort! Das hat sehr geholfen. Wie würdest du bei deiner linearen Abbildung F $\begin{eqnarray} q_F p_F \end{eqnarray}$ definieren? LG

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