Ableitung

25.06.2023, 11:51

Cinzio22

Ableitung

Hallo zusammen

Wenn ich die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ gegeben habe und die Steigung im Punkt 3 suche, kann ich u.a. $\begin{eqnarray*} \frac{ \sqrt{3+h} - \sqrt{3}}{h} \end{eqnarray*}$ rechnen, wobei h ein positiver, aber möglichst kleiner Wert sein soll. Oder?

25.06.2023, 12:00

Elvis

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Damit kommt man nicht weit, weil es keinen möglichst kleinen positiven Wert gibt. Gesucht ist ein Grenzwert, man findet ihn (vielleicht) durch die Ableitung der allgemeinen Potenz $\begin{eqnarray*} \frac {dx^{\alpha}}{dx}=\alpha\cdot x^{\alpha-1} \end{eqnarray*}$ .

25.06.2023, 12:05

Cinzio22

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Ich frage deswegen, weil ich eine MP-Frage dazu habe.

Gesucht ist die Steigung im Punkt (3, sqrt(3)).

Zur Auswahl stehen:
a) f'(3)
b) (sqrt(x+h) - sqrt(x)) / h
c) lim (h gegen 0) (sqrt(x+h) - sqrt(x)) / h
d) (sqrt(3+h) - sqrt(3)) / h
e) lim (h gegen 0) (sqrt(3+h) - sqrt(3)) / h

a und e sind klar korrekt. d also nicht?

25.06.2023, 12:09

diffizil

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Statt "Punkt 3" würde ich eher Stelle x=3 oder Punkt P(3|f(3)) schreiben.
Ich zumindest finde es merkwürdig einen Punkt mit einer Zahl gleichzustellen.

Wenn du es auf die komplizerte Weise rechnen möchtest, dann kannst du es in der Tat über die so genannte "h-Methode" machen (also das Betrachten des entsprechenden Differenzenquotienten mit anschließender Grenzwertbetrachtung für h gegen Null).

Nutze dabei bei deinem Bruchterm eine passende Erweiterung des Bruches über die 3. binomische Formel.

25.06.2023, 12:16

diffizil

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Zitat:

a und e sind klar korrekt. d also nicht?

Ohne die Limesbetrachtung hat man keine konkrete Steigung bestimmt sondern nur die Steigung von x1=3 bis x2=3+h, welche folglich von h abhängt.

25.06.2023, 14:08

Cinzio22

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Vielen Dank für die Antwort.

...also sind folglich wirklich nur a und e korrekt, oder?

25.06.2023, 22:12

mYthos

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b) und d) geben lediglich die Sekantensteigung - allgemein für eine Stelle x bzw. 3 im Intervall [x; x+h] bzw. [3; 3+h] - an (mittleres Änderungsverhalten).
c) ist allgemein für die Ableitung an einer Stelle x richtig (Ableitungsfunktion, momentanes Änderungsverhalten).

So. Nun kannst du dir den Rest aussuchen Big Laugh

mY+

25.06.2023, 22:24

Cinzio22

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Danke mYthos smile

08.07.2023, 08:23

Ulrich Ruhnau

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Zitat:

Original von Cinzio22
Ich frage deswegen, weil ich eine MP-Frage dazu habe.

Gesucht ist die Steigung im Punkt (3, sqrt(3)).

Zur Auswahl stehen:
a) f'(3)
b) (sqrt(x+h) - sqrt(x)) / h
c) lim (h gegen 0) (sqrt(x+h) - sqrt(x)) / h
d) (sqrt(3+h) - sqrt(3)) / h
e) lim (h gegen 0) (sqrt(3+h) - sqrt(3)) / h

a und e sind klar korrekt. d also nicht?

a) $\begin{eqnarray*} f'(3) \end{eqnarray*}$ ist nicht richtig, weil f nicht definiert wurde.

b) $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt x}h \end{eqnarray*}$ ist nur ein Differenzenqoutient und noch keine Steigung.

c) $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{h \to 0} \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt x}h \end{eqnarray*}$ ist die Steigung an der Stelle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aber nicht unbedingt an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=3 \end{eqnarray*}$ .

d) $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{3+h} - \sqrt 3}h \end{eqnarray*}$ ist nur ein Differenzenqoutient und noch nicht die gesuchte Steigung.

e) $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{h \to 0} \frac{\sqrt{3+h} - \sqrt 3}h \end{eqnarray*}$ ist die gesuchte Steigung an der Stelle $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ .

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