Lokale (lineare) Auflösung eines Systems

25.06.2023, 13:28	MasterWizz	Auf diesen Beitrag antworten »
Lokale (lineare) Auflösung eines Systems Hi Leute Gegeben ist eine Funktion $\begin{eqnarray} F:\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} F\left(\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix},\begin{pmatrix}v\\z\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}xz^3+y^2v^4-2\\xz+vyz^2-2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und gesucht wird eine lineare Approximation von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ als Funktionen von $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ im Punkt (1,1). Ich hab mich davon überzeugen, dass das System in einer Umgebung des Punktes (1,1,1,1) lokal nach $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ als Funktionen von $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ aufgelöst werden kann (Satz von der impliziten Funktion). Allerdings weiß ich nicht so recht, was mit "linearer Approximation" gemeint ist und wie ich diese angebe. Habt ihr eine Idee?
25.06.2023, 16:18	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lokale (lineare) Auflösung eines Systems Die lineare Approximation ist die Taylorentwicklung zum ersten Glied. Im eindimensionalen für $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ ist es $\begin{eqnarray} f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) \end{eqnarray}$ . Analog im höherdimensionalen, wobei beim zweiten Term die Ableitung der Gradient/totale Ableitung ist und es als lineare Abbildung auf $\begin{eqnarray} x-x_0 \end{eqnarray}$ wirkt (aka Matrixmultiplikation).
26.06.2023, 09:08	MasterWizz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lokale (lineare) Auflösung eines Systems Kann ich die Taylorentwicklung von $\begin{eqnarray} f(v,z)=\begin{pmatrix}x(v,z)\\y(v,z)\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ direkt aus der impliziten Darstellung $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ gewinnen oder muss ich erst mal lokal nach $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ auflösen? Ich habe zwar herausgefunden, dass es so eine lokale Auflösung gibt, aber wüsste nicht, wie ich die berechne. Meine Idee ist mit Hilfe der mehrdimensionalen Kettenregel an die Funktionalmatrix von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ zu kommen. Stimmt folgender Zusammenhang? $\begin{eqnarray} DF=D_{(v,z)}F+D_{(x,y)}F\cdot D_{(v,z)}f = 0 \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} D_{(v,z)}f=-(D_{(x,y)}F)^{-1}\cdot D_{(v,z)}F \end{eqnarray}$ was mir dann am Ende als lineare Approximation für die Funktion folgendes liefert? $\begin{eqnarray} f(v,z)=\begin{pmatrix}x(v,z)\\y(v,z)\end{pmatrix}\approx f(v_0,z_0)+D_{(v,z)}f\cdot\left(\begin{pmatrix}v\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}v_0\\z_0\end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix}2 &-3\\-3 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v\\z\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix} \end{eqnarray}$
26.06.2023, 12:31	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lokale (lineare) Auflösung eines Systems Der Weg ist absolut richtig. Nachgerechnet habe ich es nicht, das finale Ergebnis ist aber "nebensächlich". Wichtig ist, dass du es verstanden hast
26.06.2023, 12:58	MasterWizz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lokale (lineare) Auflösung eines Systems Wow vielen lieben Dank!! Erst durch deinen Input mit der Taylorentwicklung hab ich mich getraut den Weg zu gehen! Nur wo wir gerade schon bei der Taylorentwicklung sind: Wie würde denn hier Taylor im allgemeinen aussehen? Beim quadratischen Summanden in der Taylorentwicklung würde wahrscheinlich der Term $\begin{eqnarray} (v-v_0,z-z_0) \end{eqnarray}$ von beiden Seiten an eine Matrix (aus zweiten Ableitungen?) multipliziert werden (von links dann transponiert). Nur wie sieht diese Matrix dann aus? Bei einer Funktion $\begin{eqnarray} g: \mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R} \end{eqnarray}$ würde im quadratischen Term die Hessematrix vorkommen, soweit ich weiß. Und wie sieht diese Matrix in noch höheren Dimensionen aus und welche Terme würden dadran multipliziert werden, damit Summanden am Ende einen Grad $\begin{eqnarray} \geq 3 \end{eqnarray}$ hätten? Also mal ganz verrückt gedacht: Wie würde das Taylorpolynom 3. Grades so einer Funktion aussehen mit mehreren Variablen und mehreren reellen Funktionswerten?
26.06.2023, 14:37	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lokale (lineare) Auflösung eines Systems Das ist schon notationell eine Herausforderung. Meine Lieblingsdarstellung ist die von Wikipedia: Wiki-Link, d.h. copy-paste: $\begin{eqnarray} T(\mathbf{x}) = \sum_{\|\alpha\| \geq 0}\frac{(\mathbf{x}-\mathbf{a})^\alpha}{\alpha !} \left({\mathrm{\partial}^{\alpha}}f\right)(\mathbf{a}) \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ Multiindizes sind. Mit der Einschränkung $\begin{eqnarray} \|\alpha\| \leq 1 \end{eqnarray}$ bekommt man die Lineare Approximation, mit $\begin{eqnarray} \|\alpha\| \leq 2 \end{eqnarray}$ quadratische Terme, etc. Die Anzahl der Summanden wächst stark mit $\begin{eqnarray} \|\alpha\| \end{eqnarray}$ ("Ziehen mit Zurücklegen" Kombinatorik). Mehrere Funktionswerte ist hingegen höchstens notationelles Problem. Denn die Taylorentwicklung einer vektorwertigen Funktion ist einfach die Taylorentwicklung auf jedes Element einzeln angewandt und wieder als Vektor geschrieben.
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26.06.2023, 16:37	MasterWizz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lokale (lineare) Auflösung eines Systems Ahh krass, jetzt versteh ich das endlich mit den Multiindizies! Das heißt im 2-dimensionalen ist die Schreibweise mit der Hessematrix einfach nur ein glücklicher Spezialfall. Am Dimension 3 muss es verallgemeinert werden. Jedes Mal, wenn ich mich hier mit euch austausche, hab ich das Gefühl schlauer zu werden haha. Vielen Dank noch einmal!!
26.06.2023, 20:55	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Freut mich, dass ich dir Multiindizes näher bringen konnte ohne auch nur ein Wort dazu zu verlieren Viel Erfolg dir weiterhin.

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