Fläche Dreieck

25.06.2023, 20:16	Cinzio22	Auf diesen Beitrag antworten »
Fläche Dreieck Hallo zusammen Ausgehend von drei Punkten in 3 D, wie kann man den Flächeninhalt des aufgespannten Dreiecks berechnen? Ich kenne die Formel über das Kreuzprodukt: 0.5 * \| AB x AC \| Gibt es noch weitere Möglichkeiten?
25.06.2023, 20:21	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, das ist wohl schon die schnellste Variante. Für $\begin{eqnarray} A,B,C\in\mathbb{R}^d \end{eqnarray}$ für beliebiges $\begin{eqnarray} d\geq 2 \end{eqnarray}$ geht übrigens auch $\begin{eqnarray} F = \frac{1}{2}\sqrt{ \overrightarrow{AB}^2\cdot \overrightarrow{AC}^2 - \left(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}\right)^2} \end{eqnarray}$ . Dabei kennzeichnet das erste $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ eine reelle Multiplikation, und das zweite ein Skalarprodukt.
25.06.2023, 20:26	Cinzio22	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die schnelle Antwort. Könntest du mir die Formel evtl. etwas näher begründen? Also wieso stimmt die?
25.06.2023, 20:39	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Formel basiert auf $\begin{eqnarray} F = \frac{ab}{2}\sin(\gamma) = \frac{ab}{2}\sqrt{1-\cos^2(\gamma)} = \frac{1}{2}\sqrt{a^2b^2-\left(ab\cos(\gamma)\right)^2} \end{eqnarray}$ .
25.06.2023, 20:46	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Und ohne Trigonometrie geht es so. Zu zwei Vektoren $\begin{align} \vec{a} \end{align}$ und $\begin{align} \vec{b} \end{align}$ bestimmt man Vektoren $\begin{align} \vec{a}^{\, } \end{align}$ und $\begin{align} \vec{h} \end{align}$ mit folgenden Eigenschaften (mach dir dazu eine Zeichnung): $\begin{align} \text{(1)} \ \ \vec{a}, \vec{a}^{\, } \end{align}$ sind linear abhängig $\begin{align} \text{(2)} \ \ \vec{h} \, \bot \, \vec{a} \end{align}$ und damit auch $\begin{align} \vec{h} \, \bot \, \vec{a}^{\, } \end{align}$ $\begin{align} \text{(3)} \ \ \vec{b} = \vec{a}^{\, } + \vec{h} \end{align}$ Man kann damit zeigen: $\begin{align} \sqrt{\vec{a}^{\, 2} \cdot \vec{b}^{\, 2} - \left( \vec{a} \cdot \vec{b} \right)^2} = \left\| \vec{a} \right\| \cdot \left\| \vec{h} \right\| \end{align}$ Man braucht dazu nur die Rechenregeln eines Skalarprodukts, das Verschwinden des Skalarprodukts bei Orthogonalität und den Sonderfall der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung (die letztlich unter der Wurzel versteckt ist): $\begin{align} \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right)^2 = \vec{u}^{\, 2} \cdot \vec{v}^{\, 2} \end{align}$ , falls $\begin{align} \vec{u}, \vec{v} \end{align}$ linear abhängig sind. Am besten beginnt man mit dem Wurzelausdruck und substituiert darin $\begin{align} \vec{b} \end{align}$ gemäß $\begin{align} \text{(3)} \end{align}$ . Konsequentes und konzentriertes Rechnen führt von allein zum Ergebnis. Neue Kniffe sind nicht erforderlich.

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