König bewegt sich auf 8x8 Schachbrett

26.06.2023, 16:34	Lesemaus	Auf diesen Beitrag antworten »
König bewegt sich auf 8x8 Schachbrett Meine Frage: Hallo zusammen. Ich habe eine stochastische Aufgabe erhalten, die ich in einem Video erklären soll. Die Aufgabe lautet: Ein König befindet sich auf einem 8×8-Schachbrett in der linken unteren Ecke und soll in die rechte obere Ecke bewegt werden. Wie viele mögliche Wege gibt es, (a) wenn der König pro Zug entweder ein Feld nach rechts oder ein Feld nach oben bewegt wird; (b) wenn der König insgesamt 2 Zuge diagonal (Nachbarfeld rechts oben) ¨ und die andern wie in (a) bewegt wird; (c) wenn der König pro Zug entweder diagonal, oder ein Feld nach rechts oder ein Feld nach oben bewegt wird. Hinweis: Es wird nur die Formel erwartet Meine Ideen: Bei der ersten aufgabe habe ich einfach den Binomialkoeffizient verwendet (14,7) und sollte richtig sein mit 3432 Wege. Bei der Aufgabe b muss es ja zwangsläufig wenigere Wege geben, da der König mit weniger Schritte zur oberen Ecke gelangt, da er zwei diagonale Schritte machen darf. Meine Lösung ist (10,5) addiert mit (12,2). Wenn ich die zwei multiplizieren würde, hätte ich mehr Möglichkeiten als bei der Aufgabe a. Und bei der letzten Aufgabe habe ich (7,7) + (7,6)(2,1)+(7,5)(4,2)... +(14,7) gerechnet. Schliesslich sollte Aufgabe C am meisten Möglichkeiten bieten.
26.06.2023, 18:38	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Abend, wenn du eine Position betrachtest und von dort eine Rückschau machst, von wo aus diese erreicht werden kann, kannst du damit dann eine Rekurrenz (Rekursionsgleichung) für die Anzahl der Möglichkeiten aufstellen, die Position zu erreichen?
26.06.2023, 19:41	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es werden genau 2 diagonale Schritte gemacht, zudem genau 5 nach rechts und genau 5 nach oben. Ergibt $\begin{eqnarray} \frac{12!}{2!\cdot 5!^2} = 16\,632 \end{eqnarray}$ - wie war das nochmal mit den "weniger Wegen als in a)" ? (c) kann ähnlich wie (b) berechnet werden, nur mit variabler Anzahl der diagonalen Schritte: $\begin{eqnarray} \sum_{d=0}^7 \frac{?!}{?!\cdot ?!^2} \end{eqnarray}$
27.06.2023, 11:21	Lesemaus	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Hilfe. Wäre die Lösung von a) mit dem Binomialkoeffizenz richtig? Dann verstehe ich nicht, wieso der König mehr mögliche Wege hat als bei a). Denn der König muss zwei diagonale Schritte machen, sprich, er braucht weniger Schritte bis zum Ziel. Somit dachte ich, dass es zwangsläufig weniger Wege geben muss. Und bei c) wie müsste ich es in meinen Taschenrechner eintippen? Ich hätte eine Summenformel mit den Binomialkoeffizenten gemacht: (7,d)(27-2*d,7-d) Würde das auch gehen? Oder wie würde es mit deiner Formel aussehen? Für deine Hilfe bin ich sehr dankbar. Liebe Grüsse Lesemaus
27.06.2023, 11:59	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt aber mehr Variabilität in der Zusammenstellung der Wege durch diesen dritten neuen Schritt! Eigentlich hatte ich es so gemeint, dass du das Bildungsprinzip der Formel (b) mit $\begin{eqnarray} d=2 \end{eqnarray}$ Diagonalschritten auf allgemeines $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ verallgemeinerst: $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ Diagonalschritte erledigen bereits wegäquivalent $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ Schritte nach oben + $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ Schritte nach rechts. Es verbleiben also noch jeweils $\begin{eqnarray} 7-d \end{eqnarray}$ Schritte nach oben und genau so viele nach rechts, insgesamt sind das $\begin{eqnarray} d+2\left(7-d\right) = 14-d \end{eqnarray}$ Schritte. Die Formel für (c) lautet also gemäß "Permutationen mit Wiederholung" $\begin{eqnarray} \sum_{d=0}^7 \frac{\left(14-d\right)!}{d!\cdot \left(7-d\right)!^2} \end{eqnarray}$ . In dem Sinne kann man (a) als Summand $\begin{eqnarray} d=0 \end{eqnarray}$ und (b) als Summand $\begin{eqnarray} d=2 \end{eqnarray}$ auffassen.
27.06.2023, 13:11	Lesemaus	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo HAL 9000 Vielen Dank für deine schnelle und prägnante Antwort. Ich habe es für mich nochmals durchgerechnet und nun macht es für mich alles Sinn. Noch eine gute Zeit! - Lesemaus
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