Maßtheorie

26.06.2023, 18:53

Samsara

Maßtheorie

Bekanntlich erzeugt das Mengensystem $\begin{eqnarray*} C_{1}:= \end{eqnarray*}$ {(a,b]|a,b $\begin{eqnarray*} \in \mathbb{R}, a < b \end{eqnarray*}$ } die Borelsche $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ Algebra B auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Beweisen Sie oder widerlegen Sie:
1. Das Mengensystem $\begin{eqnarray*} C_{2}:= \end{eqnarray*}$ {E|E $\begin{eqnarray*} \subset \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , E endlich} erzeugt B.
Meine 1. Frage hier: müsste es bei $\begin{eqnarray*} C_{1} \end{eqnarray*}$ nicht heißen (a,b] |a,b $\begin{eqnarray*} \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ,a <=b}, den das Intervall ist ja links offen und rechts geschlossen?.
Nun zum Lösungsvorschlag:
Behauptung 1. ist falsch.
Begründung:
Setze $\begin{eqnarray*} A:= \end{eqnarray*}$ { $\begin{eqnarray*} A \subset \mathbb{R}| \end{eqnarray*}$ |A abzählbar oder $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ \A abzählbar}.
Offenbar ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ Algebra über $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A \subset B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A \neq B \end{eqnarray*}$ . Ferner ist $\begin{eqnarray*} C_{2} \subset A \end{eqnarray*}$ , womit das Gewünschte gezeigt ist.
ich komme hier mit den beiden abzählbar nicht klar. Dann scheint das Mengensystem $\begin{eqnarray*} C_{1} \end{eqnarray*}$ falsch zu sein, und das 1. Mengensystem $\begin{eqnarray*} C_{2} \end{eqnarray*}$ richtig. Allerding ist mir nicht klar, warum jetzt eben $\begin{eqnarray*} C_{2} \end{eqnarray*}$ richtig sein soll. Voelleicht kann mir hier jemand weiterhelfem.

26.06.2023, 19:30

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RE: Es geht um eine Aufgabe zur Masstheorie
Die Argumentation ist wie folgt: $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist eine Sigmaalgebra und $\begin{eqnarray*} C_2\subset A \end{eqnarray*}$ . Dann ist auch die von $\begin{eqnarray*} C_2 \end{eqnarray*}$ erzeugte Sigmaalgebra Teilmenge von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ . Weil $\begin{eqnarray*} A\neq B \end{eqnarray*}$ ist auch die von $\begin{eqnarray*} C_2 \end{eqnarray*}$ erzeugte Sigmaalgebra ungleich $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$
Edit: Man braucht natürlich auch, dass $\begin{eqnarray*} A\subset B \end{eqnarray*}$

27.06.2023, 15:04

Samsara

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RE: Es geht um eine Aufgabe zur Masstheorie
ich muss mich etwas korrigieren. Nach genauerem Hinschauen habe ich festgestellt, dass sowohl zu der Aufgabe wie auch zum Lösungsvorschlag deutlich mehr gehört. Ich schreibe nochmals alles auf.
Bekanntlich erzeugt das Mengensystem C1:={(a,b]|a,b $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb{R},a < b \end{eqnarray*}$ } die Borelsche $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Beweisen Sie oder widerlegen Sie:

1)Das Mengensystem C2:={E|E $\begin{eqnarray*} \subset \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , E endlich} erzeugt $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$

2)DAS Mengensystem C3:={(a,b) $\begin{eqnarray*} \in \mathbb{R},a < b \end{eqnarray*}$ } erzeugt $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ .

3)Das Mengensystem C4:={(a,b)|a,b $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Q,a < b} erzeugt $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$

Lösungsvorschlag

Behauptung 1. ist falsch. Begründung: Setze

$\begin{eqnarray*} A:= \end{eqnarray*}$ {a $\begin{eqnarray*} \subset \mathbb{R}| \end{eqnarray*}$ |A abzählbar oder $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ \ A abzählbar}

Offenbar ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra über $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A \subset B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A \neq B \end{eqnarray*}$ . Ferner ist C2 $\begin{eqnarray*} \subset A \end{eqnarray*}$ , womit das Gewünschte gezeigt ist.

2. ist wahr. Begründung: wir zeigen zunächst die Inklusion: C3 $\begin{eqnarray*} \subset \sigma \end{eqnarray*}$ (C1) = $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ .

Sei also (a,b) $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ C2 beliebig. Es gilt (a,b) = $\begin{eqnarray*} \cup_{n=1}^{\infty} \end{eqnarray*}$ (a,b - $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ] $\begin{eqnarray*} \in B \end{eqnarray*}$

Noch zu zeigen:C1 $\begin{eqnarray*} \subset \sigma \end{eqnarray*}$ (C3). Für (a,b] $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ C1 gilt: (a,b] = $\begin{eqnarray*} \cap_{n=1}^{\infty} \end{eqnarray*}$ (a,b + $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \sigma \end{eqnarray*}$ )(C3).

3. ist wahr. Wegen C4 $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ C3 reicht es zu zeigen: C3 $\begin{eqnarray*} \subset \sigma \end{eqnarray*}$ C4. Sei also (a,b) $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ C3. Wähle eine monoton fallende Folge ( $\begin{eqnarray*} q_{n}^{-} \end{eqnarray*}$ ) in Q und eine monoton steigende Folge ( $\begin{eqnarray*} q_{n}^{+} \end{eqnarray*}$ ) ebenfalls in Q mit

lim $\begin{eqnarray*} _{n--> \infty} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} q_{n}^{-} \end{eqnarray*}$ = a und lim $\begin{eqnarray*} _{n--> \infty} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} q_{n}^{+} \end{eqnarray*}$ = b.

Es folgt: (a,b) = $\begin{eqnarray*} \cup_{n=1}^{\infty} \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} q_{n}^{-} \end{eqnarray*}$ , q $\begin{eqnarray*} _{n}^{+} \end{eqnarray*}$ ) $\begin{eqnarray*} \in \sigma \end{eqnarray*}$ (C4).

Es beliben aktuell im Grunde noch dieselben Fragen. Hinzu kommt die jeweilige Inklusion. Ich werde es zwar auch selbst versuchen, aber ich gehe davon aus, dass ich da ohne fremde Hilfe sowie über das Nachdenken möglicher Lösungschritte hier zumindest deitlich besser beraten bin.

27.06.2023, 15:41

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RE: Es geht um eine Aufgabe zur Masstheorie
Das war jetzt nicht wirklich geschickt. Du hättest meiner Meinung nach gut daran getan, zunächst Frage 1 abzuschließen, statt drei Fragen auf einen Haufen zu werfen. Wie auch immer.
Hast du die Lösung zu 1. verstanden? Oder was hast du daran noch nicht verstanden?

27.06.2023, 15:55

Samsara

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RE: Es geht um eine Aufgabe zur Masstheorie
Mir ist deine Lösung von Nummer 1 bis jetzt noch nicht klar. Ich hatte auch den Eindruck, dass das zusammenhängt. U.a. wegen der Inklusionen. Aber da täusche ich mich vielleicht jetzt.

27.06.2023, 16:04

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RE: Es geht um eine Aufgabe zur Masstheorie
Aufgabe 1 kann man unabhängig von den anderen lösen. Ob die anderen beiden irgendwie voneinander abhängen, sehe ich noch nicht. Was genau hast du in der Lösung von 1. nicht verstanden? und welche Inklusionen meinst du genau?

27.06.2023, 16:09

Samsara

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RE: Es geht um eine Aufgabe zur Masstheorie
Nochmals zu 1. Also A ist wegen des geschwungenen A eine sigma Algebra, die wie folgt definiert ist, das ein A $\begin{eqnarray*} \subset \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ | für dieses A gilt, das diese Menge abzählbar ist oder $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ \ A abzählbar ist. Da das A, welches Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist, nicht geschwungen ist, dürfte das eben Teil der sigma Algebra sein. Aber ich komme hier einfach mit dieser Definition im Moment noch nicht klar und meine erste Vermutung war, dass ich das evet. eher im Zusammenhang mit den anderen Mengensystemen verstehen kann. Bis jetzt hat sich das allerdings noch nicht so herausgestellt.

27.06.2023, 16:23

Samsara

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RE: Es geht um eine Aufgabe zur Masstheorie
Mir ist zunächst nicht klar, warum die sigma Algebra $\begin{eqnarray*} A \subset B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A \neq B \end{eqnarray*}$ . Mit B sind wohl die Borelmengen gemeint. Mir sind jetzt erstmal nur die Erzeuger der Borelschen sigma Algebra aus Wikipedia bekannt. Das Mengensystem C1, dass ich auch wegen des Intervalls (a,b] und a < b nicht nachvollziehen kann, sollte ich wohl so, wie es nach "Setze" folgt darauf übertragen. Das verstehe ich auch nicht.

27.06.2023, 19:13

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RE: Es geht um eine Aufgabe zur Masstheorie
Fangen wir mal an

Zitat:

Bekanntlich erzeugt das Mengensystem $\begin{eqnarray*} C_1:=\{(a,b]|a,b \in \mathbb R,a<b\} \end{eqnarray*}$ die Borelsche $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ Algebra B auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

In Wikipedia sind mehrere Erzeuger der Borelschen Sigmaalgebra angegeben. Das dort genannte System $\begin{eqnarray*} \cal E _5 \end{eqnarray*}$ ist schon fast $\begin{eqnarray*} C_1 \end{eqnarray*}$ . Jetzt musst du dir nur überlegen, warum es egal ist, ob man für die Intervalle $\begin{eqnarray*} a<b \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a\leq b \end{eqnarray*}$ fordert. Dazu kannst du überlegen, welche Menge $\begin{eqnarray*} (a,a] \end{eqnarray*}$ eigentlich ist.

Das $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ in der Definition von $\begin{eqnarray*} \cal E _5 \end{eqnarray*}$ beschert einem also nur zusätzlich die leere Menge. Die bekommt man aber auch durch $\begin{eqnarray*} (0,2] \cap (3,4] \end{eqnarray*}$ . Sie ist also auch in der von $\begin{eqnarray*} C_1 \end{eqnarray*}$ erzeugten Sigmaalgebra. Deswegen ist auch $\begin{eqnarray*} C_1 \end{eqnarray*}$ ein Erzeuger der Borelschen Sigmaalgebra.

Soweit klar?

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