Rotationsoberfläche - invertieren, substituieren - Grenzen

26.06.2023, 20:06	neuerStudent	Auf diesen Beitrag antworten »
Rotationsoberfläche - invertieren, substituieren - Grenzen Meine Frage: Kann mir jemand zeigen, wie das mit den Integralgrenzen beim invertieren und substituieren einer Funktion beim integrieren funktioniert? Ich soll den Oberflächeninhalt durch Rotation um die y-Achse bestimmen. y=ln(x), 1 <= x <= 7 Meine Ideen: So weit bin ich gekommen (hoffe es stimmt halbwegs), aber das mit den Grenzen habe ich nicht verstanden.. (1 <= x <= 7) $\begin{eqnarray} <br /> y = ln(x) \newline<br /> x = e^{y} \newline<br /> Oy = 2\pi \int_{a}^{b} \! e^{y} \sqrt{1 + e^{2y}}\, dy \newline<br /> Subst: u=e^{y}\newline<br /> Oy = 2\pi \int_{c}^{d} \! \sqrt{1 + u^{2}}\, du \newline<br /> Oy = \pi(u\sqrt{1+u^2} + ln(u+\sqrt{1+u^{2}}) \text{ \|von c nach d\|} \newline<br /> \text{Rücksubst. -> Grenzen e, f?}<br /> \end{eqnarray*}$
26.06.2023, 20:38	neuerStudent	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rotationsoberfläche - invertieren, substituieren - Grenzen [ Endlösung ist: pi * (34 * sqrt(2) + ln(3 + 2 * sqrt(2))) ]
26.06.2023, 21:50	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst Dir klar machen, dass Substituieren nichts anderes als den Übergang zu einer neuen Einteilung der x-Achse darstellt. Diese Einteilung wird durch die Substitution vorgegeben und muss daher nur noch eingesetzt werden. Du beginnst mit $\begin{eqnarray} 1 \leq x \leq 7 \end{eqnarray}$ . Der Übergang zu $\begin{eqnarray} x=e^y \end{eqnarray}$ verschiebt den Bereich auf $\begin{eqnarray} 0=ln~1 \leq y \leq ln~7 \end{eqnarray}$ . Durch die anschließende Substitution $\begin{eqnarray} u=e^y \end{eqnarray}$ wird daraus wieder $\begin{eqnarray} 1\leq u \leq 7 \end{eqnarray}$ . Diese Grenzen setzt Du in deinen zuletzt berechneten Term ein, um (hoffentlich) auf die angegebene Lösung zu kommen.

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