Elementarteiler von Z Modul

27.06.2023, 15:30

Rassmus

Elementarteiler von Z Modul

Meine Frage:
Wie kann man die Elementarteiler von Z/192×Z/108 bestimmen?

Meine Ideen:
Zuletzt hatten wir zur Bestimmung der Elementarteiler von Matrizen die Smith Normalform kennengelernt. Wie ich diesen Algorithmus auf Matrizen anwende habe ich verstanden, bezogen auf die Aufgabenstellung komme ich damit aber leider nicht weiter.

02.07.2023, 08:49

jester.

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Dein Modul $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/192 \times \mathbb{Z}/108 \end{eqnarray*}$ ist isomorph zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}^2 / A\mathbb{Z}^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix}192 & 0 \\ 0 & 108\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Wenn du die Smith-Normalform $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ bestimmst, dann suchst du Matrizen $\begin{eqnarray*} S,T \in \mathbb{GL}_2(\mathbb{Z}) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} SAT=D \end{eqnarray*}$ .
Da die Matrizen $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ invertierbar sind, gilt $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}^2/A\mathbb{Z}^2 \cong \mathbb{Z}^2/SAT\mathbb{Z}^2 \end{eqnarray*}$ .
Ist die Smith-Normalform also gegeben durch $\begin{eqnarray*} D=\begin{pmatrix}d_1 \\ & d_2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , so gilt $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/192 \times \mathbb{Z}/108 \cong \mathbb{Z}/d_1 \times \mathbb{Z}/d_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d_1, d_2 \end{eqnarray*}$ sind die gesuchten Elementarteiler deines Moduls.

04.07.2023, 18:21

Rassmus

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Danke für die Antwort. Wie die Elementarteiler zu berechnen sind ist nun klar. Allerdings habe ich bei deiner Erklärung nicht ganz verstanden, warum dies gilt. Insbesondere $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}^2 / A\mathbb{Z}^2 \end{eqnarray*}$

04.07.2023, 20:18

jester.

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Zitat:

Original von Rassmus
Danke für die Antwort. Wie die Elementarteiler zu berechnen sind ist nun klar. Allerdings habe ich bei deiner Erklärung nicht ganz verstanden, warum dies gilt. Insbesondere $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}^2 / A\mathbb{Z}^2 \end{eqnarray*}$

Da fehlt am Ende irgendwie was. Du meinst, warum $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}^2/A\mathbb{Z}^2 \cong \mathbb{Z}/192 \times \mathbb{Z}/108 \end{eqnarray*}$ gilt?

Es gibt einen kanonischen surjektiven Modulhomormorphismus $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}^2 \to \mathbb{Z}/192 \times \mathbb{Z}/108 \end{eqnarray*}$ , der $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} (x+192\mathbb{Z}, ~ y + 108\mathbb{Z}) \end{eqnarray*}$ abbildet.
Man kann leicht nachrechnen, dass der Kern $\begin{eqnarray*} A\mathbb{Z}^2 \end{eqnarray*}$ ist, womit die behauptete Isoorphie aus dem Homomorphiesatz folgt.

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