Integral Substitution

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28.06.2023, 15:20	Thomas25	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral Substitution Meine Frage: Wieso gilt die Umformung im Bild. Die Begründung war die Substitutionsregel für 1 dimensionale Integrale, aber ist das zusätzliche - Zeichen nicht gerade ein Widerspruch dazu? Meine Ideen: ?
28.06.2023, 15:27	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es fehlen ein paar Zusatzvoraussetzungen an Funktion $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ , auch und gerade im Zusammenhang mit $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ - die sind wichtig, ohne die gilt bereits die erste Gleichheit nicht!!!
28.06.2023, 15:46	Thoma25	Auf diesen Beitrag antworten »
..., sodass T eine injektive C1 Transformation, wobei die Determinante der Jacobimatrix niemals verschwindet.
28.06.2023, 16:18	Thomas25	Auf diesen Beitrag antworten »
Außerdem stehen die R's allesamt für die reellen Zahlen, das ist ein Tippfehler
28.06.2023, 16:19	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur injektiv, nicht $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ -surjektiv? Na dann wähle man z.B. $\begin{eqnarray} T(x) = -\arctan(x) \end{eqnarray}$ , das ist eine injektive stetig differenzierbare Funktion $\begin{eqnarray} T:~\mathbb{R}\to \mathbb{R} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} T'(x)<0 \end{eqnarray}$ für alle reellen $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ . Aber für die gilt gemäß üblicher Substitutionsregel $\begin{eqnarray} -\int\limits_{\mathbb{R}} f\left(T(x)\right) T'(x) ~ \dd x = \int\limits_{\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)} f(y) ~ \dd y \stackrel{i.A.}{\neq} \int\limits_{\mathbb{R}} f(y) ~ \dd y \end{eqnarray}$ . Was nun?
28.06.2023, 16:24	Thomas25	Auf diesen Beitrag antworten »
Es wurde nicht noch einmal explizit erwähnt, aber eine weitere Annahme war glaube ich, dass der Träger von f im Bild von T enthalten ist. Wie sieht es nun aus?
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28.06.2023, 16:26	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das dürfte dann reichen. Warum diese tröpfchenweisen Informationen? Du siehst doch, wohin das führt, wenn man Voraussetzungen einfach weglässt: Zur Falschheit der Behauptung.
28.06.2023, 16:28	Thomas25	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich ging es mir nur um die erste Gleichheit und warum die keinen Widerspruch zur Substitutionsregel darstellt - woher kommt das Minuszeichen?
28.06.2023, 16:48	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrachten wir zunächst endliche Intervallgrenzen $\begin{eqnarray} a<b \end{eqnarray}$ . Gemäß Substitutionsregel ist mit $\begin{eqnarray} y=T(x) \end{eqnarray}$ dann $\begin{eqnarray} \int\limits_a^b f\left(T(x)\right) T'(x) ~ \dd x = \int\limits_{T(a)}^{T(b)} f(y) ~ \dd y \end{eqnarray}$ . Aufgrund der hier vorliegenden streng monoton fallenden Funktion $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ gilt aber $\begin{eqnarray} T(a) > T(b) \end{eqnarray}$ , also muss man bei aufsteigend geordneten Intervallgrenzen diese eigentlich vertauschen, d.h. $\begin{eqnarray} \int\limits_a^b f\left(T(x)\right) T'(x) ~ \dd x = -\int\limits_{T(b)}^{T(a)} f(y) ~ \dd y \end{eqnarray}$ , bzw. als Intervall geschrieben $\begin{eqnarray} \int\limits_{[a,b]} f\left(T(x)\right) T'(x) ~ \dd x = -\int\limits_{\left[T(b),T(a)\right]} f(y) ~ \dd y \end{eqnarray}$ . Daran ändert sich nichts wesentliches, wenn wir die Grenzübergänge $\begin{eqnarray} a\to -\infty \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b\to \infty \end{eqnarray}$ durchführen: $\begin{eqnarray} \int\limits_{\mathbb{R}} f\left(T(x)\right) T'(x) ~ \dd x = -\int\limits_{T(\mathbb{R})} f(y) ~ \dd y \end{eqnarray}$ mit der Bildmenge $\begin{eqnarray} T(\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ der Funktion $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ . Wenn der Träger von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ darin enthalten ist, darfst du dann natürlich auch gern $\begin{eqnarray} -\int\limits_{\mathbb{R}} f(y) ~ \dd y \end{eqnarray}$ schreiben.
28.06.2023, 16:57	Thomas25	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank. Entschuldigung für die anfänglichen Strapazen...

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