Eigenwerte einer Matrix

28.06.2023, 23:57

Samsara

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Eigenwerte einer Matrix

Sei A = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\-1&2&0&0&0\\0&0&1&1&0\\0&0&0&1&0\\1&-1&0&1&0\end{pmatrix} \in M_{55} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Ich würde jetzt eigentlich wie folgt anfangen $\begin{eqnarray*} ({\lambda - 0}) \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} ({\lambda - 2}) \end{eqnarray*}$ wäre es ja ok, aber bei - 0 = - bin ich mir nicht sicher, oder ich habe vielleicht was vergessen. Man kann wohl auch die -1 rausziehen. Daran kann ich mich aber auch nicht mehr erinnern.
Kann mir hier jemand weiterhelfen.

29.06.2023, 00:15

Samsara

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RE: Es geht um die Eigenwerte einer Matrix
Ich korrigiere mich $\begin{eqnarray*} ({\lambda - 0}) \end{eqnarray*}$ ist natürlich $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$

29.06.2023, 08:46

IfindU

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RE: Es geht um die Eigenwerte einer Matrix
Geht es dir darum, wie du es effektiv ausrechnen kannst? Wenigstens interpretier ich die Schritte als "Gaußumformungen".

In dem Fall lässt es sich schön als $\begin{eqnarray*} 2 \times 2 \end{eqnarray*}$ Blockmatrix schreiben (mit der Matrix oben-rechts gleich 0), und Determinanten davon sind besonders einfach zu berechnen: Wiki.

29.06.2023, 09:52

hawe

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RE: Es geht um die Eigenwerte einer Matrix
Hm,

@IfindU, könnest Du mal die Blockmatrix angeben, ich seh die gerade nicht?
Mit 2 Schritten 1. Spalte zu 2.Spalte und 3.Spalte zu 4.Spalte erhalte ich die Diagonale

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{rrrrr}-\lambda&0&0&0&0\\-1&-\lambda + 2 - \frac{1}{\lambda}&0&0&0\\0&0&-\lambda + 1&0&0\\0&0&0&-\lambda + 1&0\\1&-1 + \frac{1}{\lambda}&0&1&-\lambda\\\end{array}\right) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} ( -\lambda^{2} + 2 \; \lambda - 1)( -\lambda + 1)( -\lambda + 1 ) (-\lambda) =0 \end{eqnarray*}$

rechtübersichtlich, oder

29.06.2023, 10:03

IfindU

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RE: Es geht um die Eigenwerte einer Matrix

Zitat:

Original von hawe
Hm,

@IfindU, könnest Du mal die Blockmatrix angeben, ich seh die gerade nicht?

$\begin{eqnarray*} A_1 = \begin{pmatrix}0&1\\-1&2\end{pmatrix}, A_2 = \begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}, A_3 = \begin{pmatrix}0&0\\ 0&0 \\1&-1\end{pmatrix}, A_4 = \begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&1&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und eben $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix}A_1&A_2\\A_3&A_4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} \det(A - \lambda 1_{5\times 5}) = \det(A_1 - \lambda 1_{2\times 2})\cdot \det(A_4 - \lambda 1_{3\times 3}) \end{eqnarray*}$

29.06.2023, 10:38

HAL 9000

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Man kann auch schlicht mit Laplaceschen Entwicklungssatz vorgehen:

Ohne sonstige Matrixumformungen kann man bei $\begin{eqnarray*} A-\lambda I \end{eqnarray*}$ sukzessive nach 5.Spalte, 4.Zeile und 3.Zeile entwickeln und hat dabei jeweils nur ein Nichtnullelement (immer der Diagonalenwert) zu betrachten. Bleibt also ziemlich rasch nur noch die 2x2-Teilmatrix links oben in der Berechnung übrig.

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30.06.2023, 08:46

Samsara

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RE: Es geht um die Eigenwerte einer Matrix
Vielen Dank für die Antworten, ich kann folgende erste Abfolge wegen der Vorzeichen von der Aufgabe hin zum Lösungsvorschlag nicht nachvollziehen:

Sei A = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\-1&2&0&0&0\\0&0&1&1&0\\0&0&1&1&0\\0&0&0&1&0\\1&-1&0&0&1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in M_{55} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Beweisen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \chi_{A} \end{eqnarray*}$ = (T - 1) $\begin{eqnarray*} ^{5} \end{eqnarray*}$ ist.

Lösungsvorschlag:

$\begin{eqnarray*} \chi_{A} \end{eqnarray*}$ = det(T-1) = det $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}T&-1&0&0&0\\1&{T-2}&0&0&0\\0&0&{T-1}&-1&0\\0&0&0&{T-1}&0\\-1&1&0&0&{T-1}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann wird entwickelt nach dritter Spalte...das hoffe ich zu schaffen.

30.06.2023, 09:00

HAL 9000

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Deine Ausgangmatrix ist nicht quadratisch, sie besitzt die Dimension $\begin{eqnarray*} 6\times 5 \end{eqnarray*}$ - wohl passiert durch eine Zeile Copy+Paste zuviel.

Außerdem geht es nicht um $\begin{eqnarray*} \det(T-1) \end{eqnarray*}$ , sondern um $\begin{eqnarray*} \det(TI-A) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ die Einheitsmatrix bezeichne.

Aber was genau ist jetzt eigentlich deine Frage? Du hast jetzt mehrere Vorschläge gehört, wie diese Determinante berechnet werden kann - warum legst du nicht einfach los?

30.06.2023, 10:23

Samsara

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Entschuldigung, da habe ich eine Zeile zu viel reingebracht.

Sei A = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\-1&2&0&0&0\\0&0&1&1&0\\0&0&0&1&0\\1&-1&0&0&1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in M_{55} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Beweisen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \chi_{A} \end{eqnarray*}$ =(T - 1) $\begin{eqnarray*} ^{5} \end{eqnarray*}$ ist.

Lösungsvorschlag:

$\begin{eqnarray*} \chi_{A} \end{eqnarray*}$ = det(TI $\begin{eqnarray*} _{5}-A) \end{eqnarray*}$ =det $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}T&-1&0&0&0\\1&{T-2}&0&0&0\\0&0&{T-1}&-1&0\\0&0&0&{T-1}&0\\-1&1&0&0&{T-1}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Entwicklung nach dritter Spalte...das hoffe ich hinzubekommen.

Ansonsten müsste es jetzt stimmen. Mir ist jetzt nicht klar, wie es im Lösungsvorschlag zu diesem Vorzeichenwechsel kommt.

30.06.2023, 10:57

HAL 9000

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Zitat:

Original von Samsara
Mir ist jetzt nicht klar, wie es im Lösungsvorschlag zu diesem Vorzeichenwechsel kommt.

Es ist $\begin{eqnarray*} \det\left(TI_5-A\right) = (-1)^5\cdot \det\left(A-TI_5\right) = -\det\left(A-TI_5\right) \end{eqnarray*}$ .

30.06.2023, 11:25

Samsara

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Mir ist auch auf Grund dieser Antwort der Vorzeichenwechsel im Lösungsvorschlag noch nicht klar.

30.06.2023, 13:38

HAL 9000

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Wenn das von mir genannte nicht das Problem ist, was dann?

Du redest immer von Vorzeichenwechsel - im Vergleich WOZU???

Oder meinst du einfach das Minus ist $\begin{eqnarray*} T\cdot I_5~{\color{red}-}~A \end{eqnarray*}$ ? Das wäre dann aber ein Finger1

Finger1

wert.

30.06.2023, 15:51

Samsara

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In derAufagabe ist u.a. in der 1. Spalte 2. Zeile eine -1 und in der 1.Zeile 2. Spalte eine 1. Im Lösungsvorschlag ist dann in der 1. Spalte 2. Zeile eine 1 und in der 1.Zeile 2. Spalte eine -1. Das meine ich. Also genau umgekehrt.

30.06.2023, 20:35

hawe

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@IfindU, Danke - ja klar!

@Samsara
Von welchem "Lösungsvorschlag" redest Du eigentlich?
Meine Lösung zeigt: 0 - einfacher und 1 - 4-facher Eigenwert

Geht es um die Jordan-Diagonalization?

BTW:
$\begin{eqnarray*} A \, := \, \left(\begin{array}{rrrrr}0&1&0&0&0\\-1&2&0&0&0\\0&0&1&1&0\\0&0&0&1&0\\1&1&0&-1&1\\\end{array}\right) \end{eqnarray*}$
hat übrigens das von Dir ins Spiel gebrachte $\begin{eqnarray*} \chi_{A} \end{eqnarray*}$

30.06.2023, 21:59

Samsara

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Also mit dieser Matrix habe ich nichts zu tun. Ich meine die $\begin{eqnarray*} M_{55} \end{eqnarray*}$ , die ich um 10 Uhr 23 hier gepostet habe. Als erstes wurde die Aufgabe genannt, und dann begann der Lösungsvorschlag. Sofern Du zu allem hier Zugang hast, müsstest Du das auch sehen können.

30.06.2023, 23:34

hawe

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Vergleich mal die Matrix von Deinem 1. Post, (die meiner Antwort zugrunde liegt)
mit der die Du später unters Volk gebracht hast....
-> a55!

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