Fehler Differenzenquotient

29.06.2023, 17:00	Bobby Fischer	Auf diesen Beitrag antworten »
Fehler Differenzenquotient Meine Frage: Es sei f: R?R eine differenzierbare Funktion. Diskutieren Sie, welche Fehler entstehen können, wenn man die Ableitung f'(x) numerisch mithilfe des einseitigen Differenzenquotienten $\begin{eqnarray} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{eqnarray}$ näherungsweise berechnet, und für welche Werte von h diese Fehler den Gesamtfehler dominieren. Beschreiben Sie anschließend, wie man mithilfe von Extrapolation des zentralen Differenzenquotienten $\begin{eqnarray} \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} \end{eqnarray}$ fehlerkontrolliert die Ableitung f'(x) an einer Stelle x approximieren kann. Meine Ideen: Für den einseitigen Differenzenquotienten müsste einerseits für kleine h im Zähler Auslöschung eintreten. Zusätzlich sollten bei Division durch sehr kleine h Rundungsfehler auftreten, ist das erstmal korrekt oder gibt es noch andere Probleme? Für die weiteren Fragen habe ich leider keine Antwort parat.
29.06.2023, 17:15	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Numerik der Auslöschung ist das eine. Ich denke aber, hier geht es auch noch um was anderes: Gemäß Taylorentwicklungen gilt $\begin{eqnarray} f(x+h) = f(x) + f'(x)h + \frac{f''(x)}{2}h^2 + O\left(h^3\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x-h) = f(x) - f'(x)h + \frac{f''(x)}{2}h^2 + O\left(h^3\right) \end{eqnarray}$ Das bedeutet $\begin{eqnarray} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = f'(x) + \frac{f''(x)}{2}h + O\left(h^2\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} = f'(x) + O\left(h^2\right) \end{eqnarray}$ .
29.06.2023, 18:29	Bobby Fischer	Auf diesen Beitrag antworten »
Der einseitige Quotient hat also noch einen zusätzlichen Term der 2. Ableitung, der den Fehler verstärkt, im Vergleich zum zentralen Quotienten. Leider sehe ich noch nicht, wie mir diese Darstellung bei den verbleibenden Fragen aushelfen kann.
30.06.2023, 10:54	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt hier hinsichtlich der Genauigkeit der Ableitungsschätzung zwei gegenläufige Einflüsse: a) Aus rein analytischer Sicht würde man sagen: Je kleiner $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ ist, umso besser ist die Approximation der Ableitung durch die beiden Differenzenquotienten. b) Aus numerischer Sicht bedeuten immer kleinere $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ ein zunehmendes Problem der Auslöschung in der Zählerdifferenz. Daher gilt es einen Kompromiss zwischen beiden Abwägungen zu finden. Und da führt die Feststellung, dass beim zentralen Differenzenquotienten der Fehler a) nur $\begin{eqnarray} O(h^3) \end{eqnarray}$ beträgt gegenüber $\begin{eqnarray} O(h^2) \end{eqnarray}$ beim "normalen" Differenzenquotienten, zur Folgerung, dass man mit gleichem $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ hinsichtlich a) eine bessere Genauigkeit erreicht, während hinsichtlich b) kein Unterschied zwischen diesen beiden Differenzquotienten festzustellen ist. Womit man dann klar dem zentralen Differenzenquotienten den Vorzug geben sollte.

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