Kann man ein Integral so schreiben?

29.06.2023, 15:45

Stiiv

Kann man ein Integral so schreiben?

Meine Frage:
Guten Tag,
ich lese momentan ein Buch, und da kommt ein Ingeral vor, was mir recht suspekt vor kommt.

Grundformel:
$\begin{eqnarray*} E=h\cdot f \end{eqnarray*}$

Dann wird das Integral gebildet:
$\begin{eqnarray*} E=\int_{0}^{\infty}\!h\cdot\,df \end{eqnarray*}$

Dazu kommt noch, dass für $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} c=\lambda \cdot f \end{eqnarray*}$ einsetzt wird. Sein Ergebniss dann:
$\begin{eqnarray*} E=\int_{0}^{\infty}\!h\cdot\frac{c}{\lambda²}\cdot\,d\lambda \end{eqnarray*}$

Meine Fragen:

1. Ist das erste Integral so überhaupt korrekt?
In der Schule Mathematik habe ich es so gelernt
$\begin{eqnarray*} E=\int_{0}^{\infty}\! h \cdot f \,df \end{eqnarray*}$

2. Woher kommt im zweiten Integral das $\begin{eqnarray*} \lambda² \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Zu 1.
Wenn ich z.B. $\begin{eqnarray*} f(x) = 7x \end{eqnarray*}$ Integriere dann würde ich schreiben:
$\begin{eqnarray*} f(x) = \int_{a}^{b} \! 7x \, dx \end{eqnarray*}$

und nicht:
$\begin{eqnarray*} f(x) = \int_{a}^{b} \! 7\cdot \, dx \end{eqnarray*}$

Zu 2. habe ich leider keine Idee, das sieht für mich einfach falsch aus.

29.06.2023, 16:43

klauss

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RE: Kann man ein Integral so schreiben?
Ich habe noch nicht den ganzen Überblick über die Thematik bzw. die Intention der Quelle.
Grundsätzlich halte ich das erste Integral für in Ordnung, da eine Gesamtenergie über irgendein Frequenzspektrum berechnet werden soll.
Man kann sich die Idee insoweit über
$\begin{eqnarray*} dE=h\cdot d\nu \end{eqnarray*}$
vergegenwärtigen und jetzt vor beide Seiten ein Integralsymbol schreiben.

Beim Übergang im Wege der Substitution wurden m. E. einfach die Zwischenschritte
$\begin{eqnarray*} \nu=\frac{c}{\lambda } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{d\nu}{d\lambda } =-\frac{c}{\lambda^{2} } \end{eqnarray*}$
unterschlagen, was unter Berücksichtigung der Integrationsgrenzen zunächst zu
$\begin{eqnarray*} E=-\int_{\infty}^{0}\!h\cdot\frac{c}{\lambda^{2}}\cdot\,d\lambda \end{eqnarray*}$
geführt hätte.

Was damit physikalisch gewonnen ist, steht bestimmt anschließend im Originalartikel. Mathematisch konvergiert dieses Integral zunächst (natürlich) auch noch nicht.
D. h. wir brauchen den Rest des Textes oder weitere Aufklärung durch einen Physikexperten.

29.06.2023, 18:47

Stiiv

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RE: Kann man ein Integral so schreiben?

Zitat:

Original von klauss
was unter Berücksichtigung der Integrationsgrenzen zunächst zu
$\begin{eqnarray*} E=-\int_{\infty}^{0}\!h\cdot\frac{c}{\lambda^{2}}\cdot\,d\lambda \end{eqnarray*}$
geführt hätte.

Im Buch ist da kein Minus und 0 und Unendlich sind anders herum.

Also wenn ich das richtig lese/verstehe:

Ein minus Zeichen vertauscht die untere und obere Grenze eines Integrals?
Wenn ich also das Minus weg lasse, dann steht die 0 wieder unten und das unendlich Zeichen wieder oben, richtig?
(Das kann ja nicht richtig sein.)

Alles davor ist sehr schön erklärt, Danke.

Zitat:

Was damit physikalisch gewonnen ist, steht bestimmt anschließend im Originalartikel. Mathematisch konvergiert dieses Integral zunächst (natürlich) auch noch nicht.
D. h. wir brauchen den Rest des Textes oder weitere Aufklärung durch einen Physikexperten.

Im endeffekt wird für die untere Grenz (0) eine minimaler Wert eingefügt, damit keine unendlichkeiten mehr entstehen, also irgendwas > 0, wenn ich das richtig verstanden habe.

29.06.2023, 19:59

klauss

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RE: Kann man ein Integral so schreiben?

Zitat:

Wenn ich also das Minus weg lasse, dann steht die 0 wieder unten und das unendlich Zeichen wieder oben, richtig?.

Richtig. Womit wir wieder bei der Endfassung im Artikel wären.

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