Volumen Paraboloid (Wo ist der Fehler?)

30.06.2023, 01:29	MasterWizz	Auf diesen Beitrag antworten »
Volumen Paraboloid (Wo ist der Fehler?) Hi alle zusammen! Gesucht ist das Volumen des Paraboloiden $\begin{eqnarray} P=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:\ x^2+y^2\leq z\leq4\right\} \end{eqnarray}$ Mit Hilfe von Polarkoordinaten ergibt sich $\begin{eqnarray} V_P=\int\limits_P 1\,\mathrm{d}(x,y,z)=\iint\limits_{x^2+y^2\leq4} (4-(x^2+y^2))\,\mathrm{d}(x,y) = \int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\int\limits_{r=0}^{2}(4-r^2)\cdot r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi = 8\pi \end{eqnarray}$ Allerdings habe ich dann noch einmal aus Spaß versucht die Rechnung abzukürzen mit Hilfe des Rotationsvolumens und dabei auf $\begin{eqnarray} V_P=\int\limits_{0}^2 \pi\cdot [f(x)]^2\,\mathrm{d}x = \int\limits_{0}^2 \pi (x^2)^2\,\mathrm{d}x = \frac{32}{5}\pi \end{eqnarray}$ Beide Rechenwege sind für mich logisch, liefern aber verschiedene Ergebnisse. Wo ist der Fehler? EDIT: Oh man ich hab meinen Fehler gefunden Es muss ja das Rotationsvolumen um die z-Achse bestimmt werden!! $\begin{eqnarray} V_P = \int\limits_{0}^4 \pi\cdot [f^{-1}(z)]^2\,\mathrm{d}z =8\pi \end{eqnarray}$

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