Kreisspiegelung

01.07.2023, 00:15	Tom23	Auf diesen Beitrag antworten »
Kreisspiegelung Meine Frage: Wir beschäftigen uns konzeptionell mit der Kreisspiegelung. Ich soll beantworten, wie die Figur nach Kreisspiegelung am Einheitskreis aussieht. Meine Ideen: Der ganze Kreis bleibt fix, da er sich unter rechten Winkeln mit dem Einheitskreis schneidet. Die Gerade (0,1)->(2,1) wird zu einem Kreis, da sie nicht durch (0/0) geht. Gibt es einen einfachen Trick den Radius und das Zentrum zu finden?
01.07.2023, 02:00	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann die gesuchten Größen grundsätzlich ausrechnen. Deine ursprüngliche Punktmenge sei $\begin{eqnarray} M. \end{eqnarray}$ Sie sei beschrieben durch die Aussageform $\begin{eqnarray} A(p) \end{eqnarray}$ als $\begin{eqnarray} M = \{p\in\mathbb R^2\mid A(p)\}. \end{eqnarray}$ (Die Menge der Punkte, die die Aussageform erfüllen.) Und außerdem sei $\begin{eqnarray} f\colon B\to B \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} B\subseteq\mathbb R^2 \end{eqnarray}$ eine Transformation eines Bereichs der Ebene. Ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ invertierbar, kann man die Gleichung $\begin{eqnarray} p'=f(p) \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ umstellen zu $\begin{eqnarray} p=f^{-1}(p') \end{eqnarray}$ und dies in die Aussageform einsetzen. Damit lässt sich die transformierte Punktmenge in der Form $\begin{eqnarray} M' = \{p'\in\mathbb R^2\mid A(f^{-1}(p'))\} \end{eqnarray}$ beschreiben. Die Gerade durch $\begin{eqnarray} (0,1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (2,1) \end{eqnarray}$ ist beschrieben durch die Aussageform $\begin{eqnarray} A\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} :\Leftrightarrow y=1. \end{eqnarray}$ Die Kreisspiegelung sowie ihre Inverse ist $\begin{eqnarray} f\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} := \begin{pmatrix}\frac{x}{x^2+y^2} \\ \frac{y}{x^2+y^2}\end{pmatrix} = f^{-1}\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}. \end{eqnarray}$ Demnach ist die tranformierte Gerade beschrieben durch die Gleichung $\begin{eqnarray} A(f^{-1}\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix})\iff\frac{y}{x^2+y^2} = 1 \iff 0=x^2+y^2-y \iff \tfrac{1}{4} = x^2+\big(y-\tfrac{1}{2}\big)^2, \end{eqnarray}$ wobei nicht sowohl $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ als auch $\begin{eqnarray} y=0 \end{eqnarray}$ sein darf. Dies ist die Gleichung eines Kreises, an der sich der Radius und die Koordinaten des Mittelpunktes ablesen lassen.
01.07.2023, 15:08	Tom23	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke dir für die ausführliche Lösung. (-:
01.07.2023, 21:34	hawe	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn Du GeoGebra lesen kannst und/oder zur Anschauung, zum Experimentieren https://www.geogebra.org/m/hy5vnxnc

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