Gleichung lösen mit ln

01.07.2023, 13:59

LiloMaine

Gleichung lösen mit ln

Meine Frage:
Ich stecke gerade mitten in der Abiturvorbereitung und in meinem Übungsbuch sollte ich folgende Gleichung lösen: 4ln(2x)-(ln(2x))²=0. Bei den Lösungen stand als erster Schritt ln(2x)(4-ln(2x))=0. Wie kommt man darauf? Ich verstehe das irgendwie gar nicht. Wo ist das Quadrat hin und warum zieht man das jetzt von der 4 ab?

Meine Ideen:
Ist das irgendeine Logarithmusrechenregel? Das Quadrat würde ich ja davor schreiben als mal 2 und dann könnte man 4ln(2x)-2ln(2x)=0 rechnen, was heißen würde, dass x 0,5 ist. Im Lösungsbuch gibt es aber noch ein 2. x, nämlich 0,5 mal e hoch 4.

01.07.2023, 14:03

klauss

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RE: Gleichung lösen mit ln
Dies kann man im Stil einer quadratischen Gleichung lösen, indem man zuerst durch Ausklammern von $\begin{eqnarray*} \ln(2x) \end{eqnarray*}$ faktorisiert und dann "Satz vom Nullprodukt" anwendet.

Zitat:

Das Quadrat würde ich ja davor schreiben als mal 2 und dann könnte man 4ln(2x)-2ln(2x)=0 rechnen

Und dieses Logarithmengesetz gilt hier gerade nicht, weil sich das Quadrat auf den gesamten $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ bezieht und nicht nur auf das Argument.

04.07.2023, 07:58

adiutor62

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RE: Gleichung lösen mit ln
Falls du Probleme hast, klauss meint es so:

4*ln(2x)- ln(2x)*ln(2x) = 0

ln(2x)*(4-ln(2x)) = 0

...

PS:
2*ln(2x) = ln(2x)^2 = ln(4x^2) bzw. 2*(ln2+ln(x)

05.07.2023, 10:28

Luftikus

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RE: Gleichung lösen mit ln

Zitat:

Original von LiloMaine
Meine Frage:
Ich stecke gerade mitten in der Abiturvorbereitung und in meinem Übungsbuch sollte ich folgende Gleichung lösen: 4ln(2x)-(ln(2x))²=0. Bei den Lösungen stand als erster Schritt ln(2x)(4-ln(2x))=0. Wie kommt man darauf? Ich verstehe das irgendwie gar nicht. Wo ist das Quadrat hin und warum zieht man das jetzt von der 4 ab?

Meine Ideen:
Ist das irgendeine Logarithmusrechenregel? Das Quadrat würde ich ja davor schreiben als mal 2 und dann könnte man 4ln(2x)-2ln(2x)=0 rechnen, was heißen würde, dass x 0,5 ist. Im Lösungsbuch gibt es aber noch ein 2. x, nämlich 0,5 mal e hoch 4.

Oftmals versucht man aus solchen "transzendenten" Gleichungen algebraische Gleichungen zu machen, indem man sie umformt (zB. Additionstheoreme, etc.) und dann entsprechende "transzendente" Terme substituiert, also aus einer zB. zwei Gleichungen macht.

In deinem Fall:

$\begin{eqnarray*} y(x) = ln(2x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4 \cdot y - y^2 = 0 \rightarrow y(4-y)=0 \end{eqnarray*}$

Es folgt dann

$\begin{eqnarray*} \rightarrow y=ln(2x)=0 \, \text{oder} \, y=ln(2x)=4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow x = \frac{1}{2} \, \text{oder} \, x = \frac{1}{2} e^4 \end{eqnarray*}$

PS: hierbei auch immer Definitionsbereiche beachten

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