Zufallsvariable auf Messraum?

04.07.2023, 11:51

MasterWizz

Zufallsvariable auf Messraum?

Hi Leute

Ein Kommilitone und ich sind uns uneinig, ob es sich mit der Ergebnismenge $\begin{eqnarray*} \Omega=\{-1,0,1\}\subset \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ und der zugehörigen $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra
$\begin{eqnarray*} \Sigma=\{\emptyset,\Omega, \{1\},\{-1,0\}\} \end{eqnarray*}$ bei der Abbildung $\begin{eqnarray*} \ X:\Omega\rightarrow X(\Omega),\ X(\omega)=\omega^2 \end{eqnarray*}$ um eine Zufallsvariable auf dem Messraum $\begin{eqnarray*} (\Omega, \Sigma) \end{eqnarray*}$ handelt, oder nicht.

Soweit ich weiß, ist $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (\Sigma,\Sigma') \end{eqnarray*}$ -messbar ist, falls $\begin{eqnarray*} \forall B\in\Sigma':\ X^{-1}(B)\in\Sigma \end{eqnarray*}$ . Mein Kommilitone behauptet jetzt, dass es sich bei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ nicht um eine Zufallsvariable des Messraums $\begin{eqnarray*} (\Omega,\Sigma) \end{eqnarray*}$ handelt, weil zB $\begin{eqnarray*} X^{-1}(\{0\})=\{0\}\notin\Sigma \end{eqnarray*}$ .

Allerdings ist mein Argument, dass die Antwort abhängig ist von der Wahl der $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra $\begin{eqnarray*} \Sigma' \end{eqnarray*}$ . Denn für $\begin{eqnarray*} \Sigma'=\{\emptyset,\{0,1\}\} \end{eqnarray*}$ handelt es sich ja bei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ per Definition um eine $\begin{eqnarray*} (\Sigma,\Sigma') \end{eqnarray*}$ messbare Abbildung, weil $\begin{eqnarray*} X^{-1}(\emptyset)=\emptyset\in\Sigma \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X^{-1}(\{0,1\})=\Omega\in\Sigma \end{eqnarray*}$ .

Könnt ihr uns weiter helfen?

04.07.2023, 12:32

HAL 9000

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Der Begriff "Messbarkeit" erfordert Sigma-Algebren zugeordnet sowohl der Definitions- als auch der Wertemenge.

Bei einer reellen Zufallsgröße ist die Zielalgebra per definitionem die Borel-Sigmaalgebra der reellen Zahlen. Insofern hat dein Kommilitone Recht, denn $\begin{eqnarray*} \{0\} \end{eqnarray*}$ liegt in dieser Sigma-Algebra.

04.07.2023, 13:07

MasterWizz

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Hallo HAL, danke für deine Antwort smile

Ich verstehe dein Argument, wenn für reelle Zufallsvariablen gelten muss, dass $\begin{eqnarray*} \ \forall x\in\mathbb{R}:\ \{\omega:\, X(\omega)\leq x\}\in\Sigma \end{eqnarray*}$ und es sich deshalb im Beispiel oben bei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ nicht um eine Zufallsvariable auf dem Messraum $\begin{eqnarray*} (\Omega,\Sigma) \end{eqnarray*}$ handeln kann, denn für $\begin{eqnarray*} x=0:\ \{\omega:\, X(\omega)\leq0\}=\{0\}\notin\Sigma \end{eqnarray*}$ .

Nur erkenne ich leider noch nicht, warum auch die allgemeine Definition das aussagt. Denn dort wird die Messbarkeit mit den Mengen $\begin{eqnarray*} B\in\Sigma' \end{eqnarray*}$ und deren Urbildern erklärt. Darum würde ich gern wissen:

(1) Wo kommt bei Definition reeller Zufallsvariablen die $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra $\begin{eqnarray*} \Sigma' \end{eqnarray*}$ vor?

(2) Warum widerspricht mein Beispiel $\begin{eqnarray*} \Sigma'=\{\emptyset,\{0,1\}\} \end{eqnarray*}$ der allgemeinen Definition?

04.07.2023, 13:16

HAL 9000

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Zitat:

Original von MasterWizz
(1) Wo kommt bei Definition reeller Zufallsvariablen die $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra $\begin{eqnarray*} \Sigma' \end{eqnarray*}$ vor?

Steht doch z.B. im verlinkten Beitrag da:

"Bei reellen Zufallsvariablen ist der Bildraum die Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb {R} \end{eqnarray*}$ der reellen Zahlen versehen mit der borelschen $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra."

$\begin{eqnarray*} \left\{\omega:~X(\omega)\leq x\right\} \end{eqnarray*}$ ist übrigens nur eine andere Schreibweise für $\begin{eqnarray*} X^{-1}\left((-\infty,x]\right) \end{eqnarray*}$ . Und die Mengen $\begin{eqnarray*} (-\infty,x] \end{eqnarray*}$ über alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ betrachtet bilden ein Erzeugendensystem der Borel-Sigmaalgebra der reellen Zahlen.

Zitat:

Original von MasterWizz
(2) Warum widerspricht mein Beispiel $\begin{eqnarray*} \Sigma'=\{\emptyset,\{0,1\}\} \end{eqnarray*}$ der allgemeinen Definition?

Es widerspricht nicht der allgemeinen Definition der Messbarkeit, wohl aber eben jener Festlegung der Ziel-Sigmaalgebra, wenn man einfach von einer "reellen Zufallsgröße" spricht.

Nochmal in aller Kürze:

Man nennt eine Funktion $\begin{eqnarray*} X:~\Omega\to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ nicht einfach "Zufallsgröße", wenn man nur irgendeine Ziel-Sigmaalgebra findet, bzgl. der Messbarkeit herrscht - sondern es muss schon die Borelsche Sigmaalgebra sein!!! Dauert ganz schön lange, bis das bei dir angekommt.

Das mit dem "irgendein" wäre ja auch irgendwie komplett gaga: Denn bzgl. der primitiven Sigmaalebra $\begin{eqnarray*} \left\{\emptyset,\mathbb{R}\right\} \end{eqnarray*}$ ist jede Funktion $\begin{eqnarray*} X:~\Omega\to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ messbar, und damit wäre das keine nennenswerte Bedingung mehr. unglücklich

04.07.2023, 14:07

MasterWizz

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Tut mir Leid, ich bin manchmal nicht der schnellste beim Verstehen. Aber ich gebe mir Mühe deinen Erklärungen zu folgen.

Also im Fall von reellen Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} X:\Omega\rightarrow\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist die $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra des Zielraums $\begin{eqnarray*} \Sigma' \end{eqnarray*}$ per Definition die borellsche $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra. Das ist eine Festlegung, die irgendwie aus der allgemeinen Definition folgt, richtig? Das heißt es gibt hier gar keine andere Möglichkeit, als dass $\begin{eqnarray*} \Sigma' \end{eqnarray*}$ die Potenzmenge von $\begin{eqnarray*} \Omega'=\{0,1\} \end{eqnarray*}$ ist.

04.07.2023, 16:49

HAL 9000

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In dem Fall sagt man wohl besser, dass es eine $\begin{eqnarray*} \Sigma-\Sigma' \end{eqnarray*}$ -messbare Abbildung ist statt einfach nur "Zufallsgröße".

Der Grund, dass man Borel-Messbarkeit fordert liegt ja darin, weil man Integrale wie den Erwartungswert $\begin{eqnarray*} \int\limits_{\Omega} X(\omega) ~ \dd P(\omega) \end{eqnarray*}$ berechnen will, und da gibt es ohne diese Messbarkeit Probleme:

Wie berechnest du z.B. im obigen Fall $\begin{eqnarray*} \int\limits_{\Omega} \omega^2 ~ \dd P(\omega) \end{eqnarray*}$ , wenn nur $\begin{eqnarray*} P(\{1\})=p \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} P(\{-1,0\})=1-p \end{eqnarray*}$ gegeben ist?

Normalerweise würde man noch Information $\begin{eqnarray*} P(\{-1\})=q \end{eqnarray*}$ benötigen und kann dann $\begin{eqnarray*} \int\limits_{\Omega} \omega^2 ~ \dd P(\omega) = \int\limits_{\{1,-1\}} 1 ~ \dd P(\omega) = p+q \end{eqnarray*}$ berechnen, aber das geht hier ja nicht.

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