Ist ein Vektorraum mit der diskreten Topologie ein topologischer Vektorraum?

04.07.2023, 17:46	Sib	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist ein Vektorraum mit der diskreten Topologie ein topologischer Vektorraum? Meine Frage: Hallo, ich versuche zu zeigen, dass ein K-Vektorraum $\begin{eqnarray} X \neq \{0\} \end{eqnarray}$ mit der diskreten Topologie keinen topologischen Vektorraum bildet ( $\begin{eqnarray} K \in \{\mathbb{R},\mathbb{C}\} \end{eqnarray}$ ). Genauer versuche ich zu zeigen, dass die skalare Multiplikation nicht stetig ist bzgl der diskreten Topologie. Mittlerweile zweifele ich fast selber daran, aber ich habe einige Male die Aufgabenstellung gesehen dies zu beweisen. Meine Ideen: Mein erster vernünftiger Ansatz war zu zeigen, dass für ein $\begin{eqnarray} y \in X \setminus \{0\} \end{eqnarray}$ das Urbild der Menge $\begin{eqnarray} \{y\} \end{eqnarray}$ nicht offen ist, doch ich komme einfach auf keinen guten nächsten Schritt um das zu zeigen.
05.07.2023, 21:20	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, der Ansatz ist gut. Kannst du das Urbild dieser Menge explizit hinschreiben? Vielleicht hilft das schon weiter zum Verständnis. Der nächste Schritt wäre, dann, sich klar zu machen, dass jede offene Menge in $\begin{eqnarray} \mathbb K\times X \end{eqnarray}$ Vereinigung von Mengen der Form $\begin{eqnarray} U\times V \end{eqnarray}$ ist, wobei $\begin{eqnarray} U, V \end{eqnarray}$ offen in $\begin{eqnarray} \mathbb K \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ist.

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