Monte-Carlo-Schätzer

05.07.2023, 13:33

Malou2016

Monte-Carlo-Schätzer

Meine Frage:
Berechne mit R einen Monte-Carlo-Schätzwert für n=100000 Simulationen und vergleiche mit den tatsächlichen Werten.

a) $\begin{eqnarray*} \int_{-2}^{2} \! exp(-\frac{1}{2}x^2) \, dx \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} p:=\int_{V}d \underline u \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} V=\left\{ \underline u =(u_1, u_2, u_3)\in [0,1]^3: exp(u_1,u_2)\leq 1+u_3\right\} \end{eqnarray*}$
Berechne außerdem ein 95%-KI für p mit R.

Meine Ideen:
Leider habe ich bei der Software R überhaupt eine Ahnung. Welchen Code muss ich denn da eingeben?
Die exakte Berechnung bei a) sollte kein Problem darstellen.

Bei b) hänge ich leider auch bei der exakten Berechnung hier habe ich allerdings bei dem R Code auch keine Idee.

05.07.2023, 18:21

HAL 9000

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Schreibst du einfach nur blind ab, ohne über den Inhalt nachzudenken:

Was bitte soll $\begin{eqnarray*} \exp(u_1,u_2) \end{eqnarray*}$ bedeuten? Meinst du stattdessen $\begin{eqnarray*} \exp(u_1\cdot u_2) \end{eqnarray*}$ ?

Zu a) eine Anregung:

code:
1: 2: 3: 4:	f <- function(x) exp(-x^2/2) n <- 100000 x <- runif(n,-2,2) sum(f(x))*4/n

05.07.2023, 23:41

Malou2016

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Zitat:

Original von HAL 9000
Schreibst du einfach nur blind ab, ohne über den Inhalt nachzudenken:

Was bitte soll $\begin{eqnarray*} \exp(u_1,u_2) \end{eqnarray*}$ bedeuten? Meinst du stattdessen $\begin{eqnarray*} \exp(u_1\cdot u_2) \end{eqnarray*}$ ?

Die Anmerkung zu a) war schonmal sehr hilfreich. Vielen Dank!

Bei b) sollte es $\begin{eqnarray*} \exp(u_1+u_2) \end{eqnarray*}$ heißen. Hier habe ich mich leider vertippt.

06.07.2023, 08:16

HAL 9000

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Ok, dann kann man umformen $\begin{eqnarray*} \exp\left(u_1+u_2\right)-1 \leq u_3 \end{eqnarray*}$ .

Im Integrationsgebiet ist $\begin{eqnarray*} u_1+u_2\geq 0 \end{eqnarray*}$ und damit stets $\begin{eqnarray*} \exp\left(u_1+u_2\right)-1\geq 1-1 = 0 \end{eqnarray*}$ . Wenn andererseits auch $\begin{eqnarray*} \exp\left(u_1+u_2\right)-1\leq 1 \end{eqnarray*}$ (umgeformt $\begin{eqnarray*} u_1+u_2\leq \ln(2) \end{eqnarray*}$ ) gilt, ist der Term $\begin{eqnarray*} \exp\left(u_1+u_2\right)-1 \end{eqnarray*}$ als untere Integrationsgrenze für $\begin{eqnarray*} u_3 \end{eqnarray*}$ tauglich - die obere ist mit 1 sowieso klar. Damit gilt

$\begin{eqnarray*} p &=& \int\limits_0^{\ln(2)} \int\limits_0^{\ln(2)-u_1} \int\limits_{\exp\left(u_1+u_2\right)-1}^1 \dd u_3 ~ \dd u_2 ~ \dd u_1 = \int\limits_0^{\ln(2)} \int\limits_0^{\ln(2)-u_1} \left( 2-\exp\left(u_1+u_2\right)\right) ~ \dd u_2 ~ \dd u_1 = \int\limits_0^{\ln(2)} \left[ 2u_2-\exp\left(u_1+u_2\right)\right]_{u_2=0}^{\ln(2)-u_1} ~ \dd u_1\\ &=& \int\limits_0^{\ln(2)} \left( 2\ln(2)-2u_1-2+\exp\left(u_1\right) \right) ~ \dd u_1 = \left[ \left(2\ln(2)-2\right)u_1-u_1^2+\exp\left(u_1\right) \right]_{u_1=0}^{\ln(2)} = \left(1-\ln(2)\right)^2 \end{eqnarray*}$

Was R betrifft:

code:
1:	g <- function(u1,u2,u3) as.integer(exp(u1+u2) <= 1+u3)

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