Torsionsuntermodul

06.07.2023, 14:20	Modulmann	Auf diesen Beitrag antworten »
Torsionsuntermodul Meine Frage: Betrachte den Z Modul $\begin{eqnarray} M=\mathbb Z /90\mathbb Z<br /> \end{eqnarray}$ Nun Multiple Choice mit 3 Antwortmöglichkeiten: a) $\begin{eqnarray} M[3] \cong \mathbb Z /3\mathbb Z \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} M[5] \cong \mathbb Z /5\mathbb Z \end{eqnarray}$ c) $\begin{eqnarray} M[2] \cong \mathbb Z /2\mathbb Z \end{eqnarray}$ wobei mit $\begin{eqnarray} M[r] \end{eqnarray}$ der r-Torsionsuntermodul von M gemeint ist. Meine Ideen: Meines Erachtens müssten alle Antworten richtig sein, z.B. für $\begin{eqnarray} M[2]={0,45} \end{eqnarray}$ analog bei den anderen... oder habe ich hier etwas falsch verstanden?
07.07.2023, 08:50	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf die Schnelle überlegt, stimmt das, denke ich. Ich denke es gilt generell sowas hier: Sei $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ ein Integritätsbereich und $\begin{eqnarray} 0\neq a \in R \end{eqnarray}$ . Betrachte den $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ -Modul $\begin{eqnarray} M:=R/(a) \end{eqnarray}$ . Dann gilt für jeden Teiler $\begin{eqnarray} d\mid a \end{eqnarray}$ die Beziehung $\begin{eqnarray} M[d] \cong R/(d) \end{eqnarray}$ .

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