n-mal differenzierbare Funktion mit mehrfachen Nullstellen

08.07.2023, 11:42	kazimi	Auf diesen Beitrag antworten »
n-mal differenzierbare Funktion mit mehrfachen Nullstellen Meine Frage: Hallo, ich bräuchte Hilfe bei einer Seminararbeit. Das Problem ist folgendes: Es sei g:[a,b]?? eine (n+1)-mal differenzierbare Funktion mit (n+2) Nullstellen. Zeigen Sie dass mindestens ein y?]a,b[ mit g^(n+1)(y)=0 existiert. Für paarweise verschiedene Nullstellen ist mir das klar. Wie schaut es aber für mehrfach vorkommende Nullstellen, also dass Vielfachheiten mitgezählt werden und damit Die Summe der Vielfachheiten n+2 ergibt. Was muss ich da im Beweis beachten/ändern? Vermutlich ist es nicht schwierig und ich habe nur ein Brett vorm Kopf. Ich sitze aber schon länger dabei und komme nicht weiter. Danke für eure Hilfe! Meine Ideen: Kann ich hier analog sagen, dass g^(n+1) nur noch eine Nullstelle besitzt? Ich hätte das mit vollständiger Induktion nach n gemacht. Ich vermute aber, dass das nur für paarweise verschiedene Nullstellen geht.
08.07.2023, 17:20	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: n-mal differenzierbare Funktion mit mehrfachen Nullstellen Das ist eine Verallgemeinerung vom Satz von Rolle. Seien die Nullstellen $\begin{eqnarray} x_0 \leq x_1 \end{eqnarray}$ . Wenn die Nullstellen verschieden sind, gibt es eine Stelle $\begin{eqnarray} x_0 < y < x_1 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} g'(y)=0 \end{eqnarray}$ . Wenn beide Nullstellen identisch sind, d.h. $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ somit eine doppelte Nullstelle besitzt, dann gilt sofort $\begin{eqnarray} g'(x_0) = 0 \end{eqnarray}$ . Auch hier findet man also eine Nullstelle in der Ableitung, sogar noch etwas besser lokalisiert. So kann man dann iterativ vorgehen/induktiv argumentieren, warum $\begin{eqnarray} g' \end{eqnarray}$ dann $\begin{eqnarray} n+1 \end{eqnarray}$ Nullstellen hat, und $\begin{eqnarray} g'' \end{eqnarray}$ dann $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Nullstellen hat und irgendwann $\begin{eqnarray} g^{(n+1)} \end{eqnarray}$ wenigstens noch eine Nullstelle besitzt. Die Vielfachheiten machen hier also nichts kaputt, aber beachten musst du es natürlich schon.
08.07.2023, 20:42	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
https://www.onlinemathe.de/forum/n-mal-d...-mehrfachen-Nul

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