Irreduzible Polynome

08.07.2023, 17:55

Polynomius

Irreduzible Polynome

Meine Frage:
Habe ich folgendes richtig verstanden oder liege ich hier falsch: In einem Polynomring K[X] über einem Körper sind alle Polynome von Grad 1 irreduzibel.
Ist K aber kein Körper, sondern z.B. als Ring die ganzen Zahlen, dann gilt, z.B. in Z[X] aber $\begin{eqnarray*} 2X-2=2(X-1) \end{eqnarray*}$ . Für allgemeine Polynome von Grad 1 ist die Aussage somit falsch. Allerdings sind in Polynomringen über Ringen sämtliche normierte Polynome von Grad 1 irreduzibel.

Meine Ideen:
?

08.07.2023, 18:27

Leopold

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In Körpern sind alle von 0 verschiedenen Elemente Einheiten. Daher sind Polynome vom Grad 1 über Körpern stets irreduzibel. Dein Beispiel im Polynomring über den ganzen Zahlen zeigt, daß das über beliebigen Ringen nicht so zu sein braucht. 2 ist in $\begin{align*} \mathbb{Q} \end{align*}$ eine Einheit, in $\begin{align*} \mathbb{Z} \end{align*}$ nicht.

Du hast somit recht.

08.07.2023, 18:41

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Wie ist das mit $\begin{eqnarray*} R=\mathbb Z / 6\mathbb Z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x-1= (2x+1)(3x-1) \end{eqnarray*}$

08.07.2023, 20:03

Leopold

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$\begin{align*} R = \mathbb{Z} / 6 \mathbb{Z} \end{align*}$ ist kein Integritätsbereich. Ist $\begin{align*} R \end{align*}$ ein Integritätsbereich, so auch $\begin{align*} R[x] \end{align*}$ . Teilbarkeitslehre wird man vernünftigerweise nur in Integritätsbereichen durchführen. Dann gilt auch der Gradsatz

$\begin{align*} \operatorname{grad} \left( f(x) g(x) \right) = \operatorname{grad} f(x) + \operatorname{grad} g(x) \end{align*}$

für vom Nullpolynom verschiedene Polynome $\begin{align*} f(x),g(x) \end{align*}$ .

08.07.2023, 22:36

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Mit der Zusatzvoraussetzung "Integritätsbereich" ist es klar. Davon war aber in der Fragestellung keine Rede. Da stand nur

Zitat:

Allerdings sind in Polynomringen über Ringen sämtliche normierte Polynome von Grad 1 irreduzibel.

und das stimmt schlicht nicht.

09.07.2023, 09:06

Leopold

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Du hast recht, ich hätte den Integritätsbereich gleich ins Spiel bringen sollen. Auf der anderen Seite werden Begriffe wie irreduzibel, Faktorzerlegung und so weiter nur in solchen Integritätsbereichen, oder etwas allgemeiner: in faktoriellen Ringen geprägt. Wenn jemand vom Radius einer Figur spricht, denken wir auch an einen Kreis oder eine Kugel, auch wenn diese Begriffe nicht fallen.

09.07.2023, 13:21

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Ich hatte einfach aus den Augen verloren, dass man sich in diesem Kontext - aus gutem Grund - auf Integritätsbereiche beschränkt. Danke für das Auffrischen meiner Erinnerung Prost

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