Gütefunktion eines Signifikanztests

09.07.2023, 18:18	MasterWizz	Auf diesen Beitrag antworten »
Gütefunktion eines Signifikanztests Hi Leute, ich sitze hier an einem für mich sehr komplizierten Beispiel und würde mich freuen, wenn ihr mir helfen könntet auf einen Ansatz zu kommen. Für $\begin{eqnarray} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ seien $\begin{eqnarray} Y_1,\dots Y_n \end{eqnarray}$ i.i.d. stetig gleichverteilte Zufallsvariablen auf dem Intervall $\begin{eqnarray} [\vartheta,3\vartheta] \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \vartheta\in(0,\infty) \end{eqnarray}$ gegeben. Betrachtet werden soll das Testproblem $\begin{eqnarray} H_0:\ \vartheta=1\quad\text{vs.}\quad H_1:\ \vartheta\neq1 \end{eqnarray}$ Zuerst einmal ist ein minimales $\begin{eqnarray} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ gesucht, sodass die Entscheidungsregel gilt: Entscheidung für $\begin{eqnarray} H_1 \end{eqnarray}$ , falls $\begin{eqnarray} Y_i\in[\frac32,\frac52] \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} i=1,\dots,n \end{eqnarray}$ einen Signifikanztest zum Niveau $\begin{eqnarray} \alpha=0,01 \end{eqnarray}$ für das Testproblem darstellt. Hier denke ich allerdings eine Lösung gefunden zu haben, indem ich über die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art zu gehe: $\begin{eqnarray} \alpha\geq P(H_1\text{ wählen } \|\ H_0 \text{ wahr}) = P\left(Y_1\in[\frac{3}{2},\frac{5}{2}]\cap\dots\cap Y_n\in[\frac{3}{2},\frac{5}{2}]\, {\Large\|}\ \vartheta=1\right) = \prod\limits_{i=1}^n P\left(Y_i\in[\frac{3}{2},\frac{5}{2}]\,{\Large\|}\,\vartheta=1\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^n \end{eqnarray}$ Jetzt kommt mein eigentliches Problem: Gesucht ist eine Gütefunktion des eben angesprochenen Signifikanztests, wobei n=10 gesetzt sei. Meine Idee: Die Gütefunktion eines nicht-randomisierten Tests ist die Wahrscheinlichkeit für das Ablehnen von $\begin{eqnarray} H_0 \end{eqnarray}$ . Doch wie bestimme ich diese Wahrscheinlichkeit? Ist es die gleiche Logik, wie in der Aufgabe zuvor, nur mit allgemeinem $\begin{eqnarray} \vartheta \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \left(\frac{1}{2\vartheta}\right)^n \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \theta\in(\frac56,\frac32) \end{eqnarray}$ und 1 außerhalb des Intervalls? Irgendwie denke ich, dass es nicht ganz stimmen kann, weil es nicht so aussieht, als wenn die Unverfäschtheitseigenschaft $\begin{eqnarray} \text{sup}_{\vartheta\in\Theta_0}P_{\vartheta}(H_0 \text{ ablehnen})\leq \text{inf}_{\vartheta\in\Theta_1} P_{\vartheta}(H_0 \text{ ablehnen}) \end{eqnarray}$ erfüllt ist.

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