Wie hängt die Diagonalisierbarkeit der Funktion und der Matrix zusammen?

11.07.2023, 06:59	joker999	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie hängt die Diagonalisierbarkeit der Funktion und der Matrix zusammen? Meine Frage: sei f:Mat(2,C)--Mat(2,C): K -- FK z.z: char Polynom x_f = x_D^2 F aus Mat(2,C) Warum ist f diagonalisierbar, wenn F es ist? Meine Ideen: wie lässt sich x_f berechnen?
11.07.2023, 23:03	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie hängt die Diagonalisierbarkeit der Funktion und der Matrix zusammen? $\begin{eqnarray} f(K)=\lambda K \iff (F-\lambda I)K=0 \end{eqnarray}$ Jetzt muss man sich noch überlegen, wie man die Eigenvektoren von $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ in passende Matrizen einsetzt. Hat man vier linear unabhängige Matrizen erzeugt, ist man fertig.
12.07.2023, 17:44	joker999	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie hängt die Diagonalisierbarkeit der Funktion und der Matrix zusammen? Den ersten Teil konnte ich selbst zeigen, danke, nun stellt nur noch die Frage wieso f diagonalisbar ist, wenn F es ist, wie fließt hier x_f = x_F^2 ein
12.07.2023, 21:25	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie hängt die Diagonalisierbarkeit der Funktion und der Matrix zusammen? Meiner Meinung nach braucht man das überhaupt nicht. Ich habe es jedenfalls nicht benutzt.
13.07.2023, 08:45	joker999	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie hängt die Diagonalisierbarkeit der Funktion und der Matrix zusammen? Es sollte aber daraus auf die Diagonalisierbarkeit gefolgert werden, wie ist dies möglich?
13.07.2023, 09:33	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie hängt die Diagonalisierbarkeit der Funktion und der Matrix zusammen? Wo steht das? In der geposteten Aufgabenstellung jedenfalls nicht.
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13.07.2023, 20:21	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie hängt die Diagonalisierbarkeit der Funktion und der Matrix zusammen? Wenn man mit Polynomen argumentieren will, dann vielleicht so: Für jedes Polynom $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ und jede Matrix $\begin{eqnarray} K\in Mat(2,\mathbb C ) \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} p(f)(K)=p(F)K \end{eqnarray}$ . Daraus folgt $\begin{eqnarray} p(f)=0 \iff p(F)=0 \end{eqnarray}$ . Also haben $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ das gleiche Minimalpolynom.

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