Wie wird diese Summe zusammengefasst?

11.07.2023, 22:23	phili22	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie wird diese Summe zusammengefasst? Meine Frage: Hallo, ich verstehe nicht ganz, wie diese Gleichung aufgeht. $\begin{eqnarray} \sum_{i=0}^{l-1}{2^{i}}=2^l-1 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Wenn ich für die variablen zahlen einsetze, dann kriege ich zwar richtige ergebnisse, aber ich verstehe nicht wieso diese richtig sind. Gibt es dafür einen Beweis oder Erklärung?
11.07.2023, 23:07	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Man könnte hier auf die Formel für eine geometrische Summe verweisen. Den Beweis kann man für den Spezialfall hier durchführen: $\begin{align} \color{red} 1 + 2 + 4 + 8 + \ldots + 2^{n-1} \color{black} + 2^n \end{align}$ $\begin{align} = \color{blue} 1 \color{black} + 2 \cdot \color{red} \left( 1 + 2 + 4 + \ldots + 2^{n-2} + 2^{n-1} \right) \end{align}$ Jetzt bringt man durch Subtraktion das Rote von der linken Seite auf die rechte Seite und die von der rechten Seite auf die linke: $\begin{align} 2^n \color{blue} - 1 \color{black} = \color{red} 1 + 2 + 4 + \ldots + 2^{n-1} \end{align}$

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